Ecuaciones diferenciales.

1. Una ecuación diferencial de orden superior es de la forma  y puede ser solucionada por diferentes métodos. La ecuación diferencial: , puede ser solucionada por los siguientes métodos y tiene como solución general:[pic 1][pic 2]

1. Método de variables separables y método de ecuaciones exactas.
2. [pic 3]
3. [pic 4]
4. Método de variación de parámetros y método de coeficientes indeterminados.

Respuesta: (No. 2 y 4)

Método de variación de parámetros y método de coeficientes indeterminados

[pic 5]

SOLUCIÓN:

[pic 6]

La solución a esta ecuación diferencial es , donde   es la solución a la ecuación homogénea asociada y,  es la solución particular.[pic 7][pic 8][pic 9]

Sacamos la ecuación homogénea asociada y su ecuación característica

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

Donde  Luego   [pic 14]

 [pic 15]

Tenemos que  comparada con su posible forma , así   , y reemplazamos en la ecuación solución , tenemos [pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

, la solución asociada para [pic 21][pic 22]

Donde derivamos dos veces para reemplazar en la ecuación homogénea,

[pic 23]

Reemplazamos en nuestra ecuación  [pic 24][pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

Igualamos coeficientes

[pic 28]

[pic 29]

De (2) sacamos ,  reemplazando en (1), [pic 30][pic 31]

[pic 32]

, reemplazando las soluciones se tiene la respuesta (No. 2).[pic 33]

[pic 34]

1. Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinaria que tiene un valor especificado que se conoce como la condición inicial, de la función desconocida en un punto dado del dominio de la solución. Para el problema de valor inicial , , , la solución particular  y la solución al problema  corresponden a:[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

1. [pic 40]
2. [pic 41]
3. [pic 42]
4. [pic 43]

Respuesta: (No. 1 y 3)

[pic 44]

[pic 45]

SOLUCIÓN:

[pic 46]

La solución a esta ecuación diferencial es , donde   es la solución a la ecuación homogénea asociada y,  es la solución particular.[pic 47][pic 48][pic 49]

Sacamos la ecuación homogénea asociada y su ecuación característica

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

Tenemos que [pic 54]

[pic 55]   (Cuadro No. 2)

Como tenemos la solución asociada de ,  y para , en (cuadro No. 2) tenemos que s=1, a=0, b=1, luego[pic 56][pic 57]

 [pic 58]

,    (Respuesta No.3)[pic 59]

Derivamos dos veces para reemplazar en nuestra ecuación

[pic 60]

[pic 61]

Reemplazando en la ecuación        [pic 62]

[pic 63]

Igualando coeficientes tenemos

[pic 64]

[pic 65]

Reemplazando en la ecuación solución tenemos [pic 66]

[pic 67]

Aplicando las condiciones iniciales donde [pic 68]

, como: [pic 69][pic 70]

[pic 71]

[pic 72]

[pic 73]

,   Luego tenemos nuestra solución[pic 74]

     (Respuesta No. 1)[pic 75]

1.  Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden.

Problema:    

La ecuación del movimiento de un péndulo con longitud  es  : Si para ,  y la velocidad angular inicial  , Determine  en función de t para el movimiento.[pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81][pic 82]

Solución

Tenemos la ecuación , solucionando la ecuación homogénea tenemos[pic 83]

[pic 84]

Luego la solución a nuestra ecuación es

...