Ecuaciones diferenciales

UNIDAD DIDACTICA PARA EL APRENDIZAJE DE ECUACIONES DIFERENCIALES *

RICARDO  VEGA  HERNÁNDEZ

Docente Asociado

UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA

Matemático

   Universidad Nacional

TEMATICA A DESARROLLAR

• Objetivo
  

• Justificación
  

• Introducción

TEMAS                                                                                

1. Definiciones básicas. 

1. Ecuación diferencial.
   

2.  Tipos de ecuación diferencial.

1. Ecuación diferencial ordinaria.

2. Ecuación diferencial parcial.  
   

1. Representación.
2. Orden de una ecuación diferencial.
3. Grado de una ecuación diferencial.
4. Ecuación diferencial lineal.
5. Solución de una ecuación diferencial.
6. Solución general.
7. Solución particular.

            Primer teorema de existencia y unidad.                                                      La curva integra.         

1. Ecuación diferencial ordinaria de primer orden.                         

1. Variables separables.                                                        

1. Ecuaciones diferenciales convertibles a variables separables.
   

1.  Ecuaciones diferenciales homogéneas.                                    

1. Ecuaciones diferenciales convertibles a homogéneas.         

1.  Ecuaciones lineales de primer orden.                                 

1. Ecuación de Bernoulli        
                                           

1.  Ecuaciones diferenciales exactas.                                        

1. Ecuaciones diferenciales convertibles a exactas. Factor integrante.      

1.  Ecuaciones que no son lineales  de y con respecto a x, pero que       pueden convertirse a lineales de x con respecto a y.                                                          
2.  Ecuaciones diferenciales de primer orden no resueltas con respecto a la derivada.                                                                        

1. Ecuaciones de primer orden y de grado n, con respecto a y’.
2. Ecuaciones diferenciales donde no aparece la variable  independiente

1.  Louis Lagrange.                                                                 
2.  Ecuación de Clairaut .                                                        
3.  Ecuación de Ricatti.                 

1. Aplicación de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden

1. Trayectorias ortogonales.        

1.  Ley de crecimiento y decaimiento de Sir Isaac Newton.

1. Crecimiento de bacterias .
2. Vida media del plutonio.
3. Antigüedad de un fósil.

1.  Ley de enfriamiento de Newton.
2.  Circuitos eléctricos simples. Leyes básicas de la electricidad.

1. Circuitos R-C
2. Circuitos R-L

1.  Mezclas.

1. Ecuaciones diferenciales de orden superior.

1. Interdependencia lineal de las funciones.
2.  Determinante de Wronsky, Determinante de Grann
3.  Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes      Constantes.
4. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes.

1. Transformada de Laplace.

1. Primera propiedad de traslación de Transformada de Laplace.

1.  La transformada inversa.
2.  Propiedad de derivación.

1. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales.

1. Estabilidad.

APENDICES

1.  Ejercicios resueltos

2.  Acerca del Golfran Alfa y Mathematica.

  Metodología.

  Recursos.

  Cronograma de actividades

  Bibliografía.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Diseñar y construir una unidad didáctica para el aprendizaje de las Ecuaciones Diferenciales utilizando tic.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Idear un programa que facilite la comprensión de Ecuaciones Diferenciales con sus respectivas gráficas.

• Estudiar y comprender la temática que relaciona cada tipo de gráfica con el tema tratado en este proyecto.

• Construir de forma sencilla gráficas de curvas integrales.  
• Comprender la importancia de la utilización y cumplimiento de las competencias a desarrollar planteadas en la asignatura de Ecuaciones Diferenciales.

JUSTIFICACIÓN

Este trabajo es hecho con la finalidad de diseñar y construir una unidad didáctica para el aprendizaje de  Ecuaciones Diferenciales, es muy importante tener una claridad acerca de cada uno de los conceptos y gráficos que esta temática incluye, y qué mejor manera que visualizando su estructura.

Además en la actualidad la tecnología es uno de los ejes que está moviendo el mundo, y el uso de TIC y programas como el mathematica, Maple, y otros que se pueden obtener en forma gratuita,  nos ayudarán ver la aplicación de determinadas ecuaciones, será para quienes lo observen mucho más atractivo, por lo tanto van a tener una mejor disposición frente a este, lo cual conlleva a una mejor comprensión y clarificación, que es el objetivo primordial al dar a conocer determinado tema.

INTRODUCCIÓN

Mediante el contenido de este trabajo se darán a conocer algunos de los conceptos fundamentales de Ecuaciones Diferenciales como lo son: definiciones básicas, teoremas, tipos de ecuaciones y algunas  aplicaciones, dando un concepto claro y conciso de cada uno de estos ítems para una clara y fácil comprensión con el objetivo de diseñar una unidad didáctica para el aprendizaje de Ecuaciones Diferenciales.

Dentro de él también encontraremos la metodología y los recursos necesarios para llevar a cabo un proyecto muy útil para muchas personas, en especial para quienes tienen como base dentro de su cotidianidad la matemática, de tal manera que facilitemos un poco la ejecución de muchos de los problemas que a diario se nos presentan.

ECUACIONES DIFERENCIALES

1. DEFINICIONES BÁSICAS

1. ECUACIÓN DIFERENCIAL

DEFINICIÓN: Una ecuación diferencial (E.D.) es una ecuación en la que aparecen relacionadas una o varias variables independientes (x), una variable dependiente de ellas (y= y(x)) y las derivadas de ésta (,,….,) con respecto de una o más variables independientes hasta orden n inclusive.[pic 1][pic 2][pic 3]

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