Ecuaciones diferenciales

UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGRO

FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES

CARRERA:

ECONOMÍA

TEMA:

DIFERENCIACIÓN

- REGLA DE VARIABLE ELEVADA A EXPONENTE

- DERIVADA DE UNA SUMA O RESTA

INTEGRANTES:

BYRON GARCÍA

JESÚS JIMÉNEZ

VANESSA AJILA

ANDREA PÉREZ

ELÍAS CEVALLOS

MADELAINE PAREDES

DOCENTE:

ECON. VINICIO ARCOS

DIFERENCIACIÓN

El proceso de obtener una derivada recibe el nombre de diferenciación. Se dispone de un conjunto de reglas de la diferenciación para obtener las derivadas de muchas funciones comunes. Aunque hay muchas funciones para las cuales no existe la derivada, aquí nos ocuparemos de las funciones que son diferenciables.

Reglas de la diferenciación:

Las reglas de diferenciación que se explican en la presente sección se desarrollaron usando el método del límite. Pueden ser muy complicadas las matemáticas que se aplican en la prueba de dichas reglas. Para nuestros propósitos bastará presentar las reglas sin demostración alguna. En el apéndice al final del capítulo se incluyen las demostraciones de algunas reglas de la diferenciación para el lector que desee consultarlas. Las reglas de la diferenciación se aplican a funciones que poseen características estructurales específicas. Una regla establecerá que si una función muestra determinadas características, su derivada tendrá una forma resultante. A medida que el lector estudie las reglas, no olvide que cada función puede ser graficada y que la derivada es una expresión general de la pendiente de la función. Otra notación de dy/dx es hacer que f (x) (léase “f prima de x”) represente la derivada de la función f en x. En otras palabras, si se tiene f(x),

La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.

[pic 1]

Si la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno.

f(x) = xk f'(x)= k · xk−1

La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

[pic 2]

[pic 3]

Ejemplo 2:

[pic 4]

[pic 5]

Derivar cada término por separado aplicando las reglas anteriormente vistas.

[pic 6]

- REGLA DE VARIABLE ELEVADA A EXPONENTE

Derivada de una variable elevada a la potencia

Regla:  Derivada de  [pic 7]

Si  es cualquier numero real entonces [pic 8]

[pic 9]

Siempre que  esté definida. Esto es, la derivada de una potencia constante de x es igual al exponente multiplicado por  elevada a una potencia menor en una unidad que la de la potencia dada[pic 10][pic 11]

Demostración.

Daremos una prueba para el caso en que n es un entero positivo.

, al aplicar la definición de la derivada obtenemos:[pic 12]

[pic 13]

De acuerdo con el desarrollo anterior de [pic 14]

[pic 15]

En el numerador, la suma del primero y del último término es cero. Al dividir cada uno de los términos restantes entre  se obtiene.[pic 16]

[pic 17]

Cada término después del primero tiene h como factor y debe tender a 0 conforme. Por tanto,

[pic 18]

Ejemplo:

1. Dada la derivada   encontrar la variable exponencial.[pic 19]

 =  = [pic 20][pic 21][pic 22]

1. Si    [pic 23]

[pic 24]

Cuando aplicamos una regla de diferenciación a una función, algunas veces la función debe reescribirse primero, de manera que tenga la forma apropiada para esa regla. Por ejemplo, para diferenciar   debemos escribirla primero en la forma  como  y luego proceder como en el ejemplo (b)[pic 25][pic 26][pic 27]

[pic 28]

- DERIVADA DE UNA SUMA O RESTA

La regla para la derivada de una suma es f (x) = g (x) + h (x), es decir, la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada uno de los términos por separado.

f '(x) = g '(x) + h '(x)

Si  y  son funciones diferenciables, entonces   y  son diferenciables y[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

Esto es, la derivada de la suma (o diferencia) de dos funciones es la suma (o diferencia) de sus derivadas.

Demostración:

 Para el caso de una suma, si , al aplicar la definición de la derivada de F se obtiene: [pic 36][pic 35]

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