Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Enviado por frank1585. • 30 de Julio de 2022 • Ensayos • 1.067 Palabras (5 Páginas) • 46 Visitas
C). f(x) = ; g(x)= [pic 1][pic 2]
Solución
Sistema de 3 x 3
f(x) = g(x) = h(x) =[pic 3][pic 4][pic 5]
f’(x) = 2x g’(x) = 2x-1 h’(x)=2x
f”(x) = 2 g”(x)= 2 h”(x) =2
[pic 6][pic 7]
W(f,g,h) = [pic 8][pic 9][pic 10]
2x 2x-1 2x
2 2 2
Determinante:
Sistema 3 x 3
W = [pic 11]
W= 2
2. Solución de EDOL de segundo orden homogénea: determine la solución de cada uno de los problemas iniciales presentados, asociados a ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.
a) y” = 10y + 19y’ , con y(0) = 1 y’ (0) = −1.
b) 4y + 9y” = −12y’ , con y(0) = −3 y y’ (0) = 0.
c) 9y” + 4y’ = −5y, con y(0) = 2 y y’ (0) = 0.DY
[pic 12]
Solución:
a) y” = 10y + 19y’ , con y(0) = 1 y’ (0) = −1.
Reescribimos la ecuación homogénea de la forma:
ay” [pic 13]
y” - 19y’ -10y = 0
Para una ecuación ay” , asumimos una solución en la forma [pic 14][pic 15]
Reemplazando en la ecuación nos queda:
[pic 16]
Hallamos las derivadas:
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
Reemplazamos en la ecuación:
[pic 20]
Sacando factor común nos queda:
[pic 21]
Resolviendo la cuadrática:
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
= 19.51[pic 25]
= 0.51[pic 26]
Para 2 raíces r1 ≠r2, la solución general toma la forma
[pic 27]
Reemplazando por las condiciones iniciales (0) = 1[pic 28]
[pic 29]
1= C1+C2 : C1= C2-1
[pic 30]
Sustituimos por las condiciones iniciales
-1[pic 31]
[pic 32]
[pic 33]
[pic 34]
[pic 35]
1=[pic 36]
19.51 = -1-.51C2+19.52C2
19.51= 19.51+1
: C2 = 1.07[pic 37]
C1 = [pic 38]
C1 = = -0.07[pic 39]
Sustituyendo C1 y C2 en:
[pic 40]
[pic 41]
b) 4y + 9y” = −12y’ , con y(0) = −3 y y’ (0) = 0.
Solución
Reescribimos la ecuación de la forma:
ay” [pic 42]
9y” [pic 43]
Asumimos una solución en la forma [pic 44]
[pic 45]
Hallamos las derivadas:
[pic 46]
[pic 47]
[pic 48]
Reemplazamos en la ecuación:
[pic 49]
Simplificando:
[pic 50]
Resolvemos: [pic 51]
[pic 52]
[pic 53]
= Multiplicidad 2.[pic 54][pic 55]
Para una raíz real r, la toma la forma:
[pic 56]
[pic 57]
Simplificando:
x[pic 58]
Aplicando condiciones iniciales:[pic 59]
[pic 60]
-3 = .(0)[pic 62][pic 61]
-3= [pic 63]
[pic 64]
(1)[pic 65]
0= (1)[pic 67][pic 66]
0= [pic 68]
Reemplazando [pic 70][pic 71][pic 69]
+ [pic 72][pic 73]
C2=-2
Por lo tanto
x[pic 74]
c) 9y” + 4y’ = −5y, con y(0) = 2 y y’ (0) = 0.
Solución:
Reescribimos la ecuación de la forma:
ay” [pic 75]
Asumimos una solución en la forma [pic 76]
Reescribimos la ecuación:
[pic 77]
Hallamos las derivadas:
[pic 78]
[pic 79]
[pic 80]
Reemplazamos y simplificamos:
[pic 81]
Resolvemos la cuadrática:
[pic 82]
[pic 83]
[pic 84]
[pic 85]
[pic 86]
Por propiedades de números imaginarios[pic 87][pic 88][pic 89]
= [pic 90][pic 91]
...