Ecuaciones Diferenciales

Universidad Nacional Autónoma de México [pic 1][pic 2]

Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán Campus 1

Monica Sherlyn Briones Torres

Licenciatura en Química

Grupo: 1201

Matemáticas III

Fernando Cuevas Villalobos

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

30 de diciembre

Objetivos 

Objetivo general.

1. Entender que es una ecuación diferencial, y los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales que existen con el fin de poder aplicar los procedimientos y técnicas correspondientes para poder determinar la solucion propia a cada ecuacion diferencial.

Objetivos particulares.         

1. Aprender a clasificar las ecuaciones diferenciales según: su tipo, orden, linealidad y homogeneidad.
2. Comprender la diferencia entre el orden de una ecuacion y el grado de la misma.
3. Aprender que tipo de ecuaciones diferenciales se pueden resolver con la metodología de variables separables y como se lleva a cabo dicha metodología de resolución
4. Entender que es un cambio de variable y para que se utiliza.
5. Aplicar un cambio de variable según lo requiera la ecuacion diferencial con el fin de facilitar el proceso de resolución de la misma.
6. Comprender que es un factor integrante y como facilita la resolución de ecuaciones no homogeneas.

Introducción

Las leyes del universo que buscan explicarnos la naturaleza del mundo en el que vivimos, ya sea mediante la física, la química, la astrología o la biología, encuentran su expresión más natural en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales. Siendo así, bastantes las áreas en las que las ecuaciones diferenciales sirven de apoyo para describir situaciones de nuestra cotidianidad y hasta fenómenos reales.

Pues recordemos que si  entonces su derivada   la cual puede interpretarse como el ritmo de cambio de  con respecto a . [pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

Mientras que en cualquier proceso natural, se encuentran involucradas diversas variables, las cuales, junto con sus ritmos de variación, se encuentran relacionadas entre sí por medio de los principios básicos que gobiernan dichos procesos, por lo que, al expresarse dicha conexión en símbolos matemáticos, el resultado frecuentemente se trata de una ecuación diferencial, lo cual ejemplifica a la perfección la razón por la que muchos fenómenos pueden expresarse con naturalidad en el lenguaje de las matemáticas.

Una ecuación diferencial es una expresión matemática que involucra al menos una derivada de una función que depende de una o más variables. Al tratarse de ecuaciones que pueden ayudar a modelar un sinfín de procesos en áreas como la ingeniería, la economía, la biología, entre otros, dichas ecuaciones no tienen una forma definida, por lo que tienen diversas formas de clasificarse.

Es por todo lo mencionado con anterioridad, que, en el presente trabajo, se hablará acerca de la forma en la que las ecuaciones diferenciales se clasifican, y, asimismo, se mostraran diversos ejemplos de las metodologías mediante las cuales se busca dar soluciones a los diversos tipos de ecuaciones diferenciales que existen.

Desarrollo

En matemáticas, una ecuación es una igualdad que se establece entre dos expresiones, las cuales pueden contener una o más incógnitas que deben ser resueltas, aunque puede darse el caso de que la ecuación no tenga ninguna solución o presente más de una.

Así pues, una ecuación diferencial es una expresión matemática que contiene derivadas de una o más variables dependientes respecto a sus variables independientes, y estas se pueden clasificar de acuerdo con: su tipo, su orden y su linealidad.

Existen ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales parciales (según su tipo), ecuaciones de primer orden, segundo orden u orden n (según su orden), y ecuaciones lineales y no lineales (según su linealidad)

Cuando hablamos de clasificación según su tipo, nos encontramos con ecuaciones diferenciales ordinarias, y ecuaciones diferenciales parciales, dicha división depende del número de variables independientes respecto de las que se derivan. Se le llama ecuación diferencial ordinaria a aquella ecuación que solo contiene derivadas con respecto a una sola variable, por lo que se tendrán derivadas completas o derivadas ordinarias. Por ejemplo:

 [pic 7]

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Mientras que una ecuación diferencial parcial, únicamente se tienen funciones que dependen de más de una variable  . Por ejemplo:[pic 10]

 [pic 11]

 [pic 12]

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Al hablar de la clasificación según el orden, se toma en consideración el orden de la derivada mayor de la ecuación diferencial (sin importar si se trata de una ecuación diferencial parcial o una ecuación diferencial ordinaria), con base en ella se determina el orden de la ecuación, es decir en ecuaciones diferenciales de primer grado únicamente se tienen primeras derivadas, en ecuaciones diferenciales de segundo grado únicamente segundas derivadas y así sucesivamente hasta alcanzar “n” orden. Sin embargo, es común confundir el orden de la ecuación con el grado de esta, puesto que son conceptos muy similares, ya que cuando se habla del grado de la ecuación diferencial, se está considerando el exponente de la derivada de mayor orden, siempre y cuando la ecuación este dada de forma polinómica. Por ejemplo:

                                      Segundo orden, primer grado [pic 14]

                             Tercer orden, segundo grado[pic 15]

                           Tercer orden, primer grado     [pic 16]

                                       Primer orden, primer grado[pic 17]

Cuando se habla de clasificación según la linealidad, el criterio que se considera para definir que una ecuación diferencial es lineal es que: la variable dependiente y todas sus derivadas sean de grado uno, que no haya productos de las variables dependientes y que no haya funciones trascendentes (exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y trigonométricas inversas) relacionadas con las variables dependientes, de lo contrario se tratara de una ecuación diferencial no lineal. Por ejemplo:

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