Ejercicio de teoría de colas

[pic 1]

Ejercicio a resolver:

En la red de la figura se especifican las distancias en kilómetros de cada enlace. Los paquetes se encaminan por el camino de menor distancia física hasta su destino. Todos los enlaces son unidireccionales. Considere que todos los tráficos son poissonianos y que la longitud de los paquetes sigue una distribución exponencial de media L=300bits. El tráfico dirigido de un nodo i a un nodo j, en paquetes por segundo, queda expresado a través de la matriz .[pic 3][pic 2]

                   [pic 4]

1. Obtenga el tráfico soportado por cada enlace (respete la numeración de los enlaces de la figura), y la capacidad mínima que se deberá asignar a cada uno de ellos.

Acorde a la teoría dada en clase,  corresponde a la matriz de tasas medias extremo a extremo de paquetes o también llamado tráfico dirigido de un nodo a otro, siendo i el nodo origen y j el nodo destino.[pic 5]

Como se nos proporciona la matriz  simplemente podemos “descomponerla” para obtener los diferentes tráficos de un nodo a otro que hay en la red propuesta. [pic 6]

Las filas corresponden al nodo origen y las columnas al nodo destino. Algo bastante lógico es que en la diagonal de la matriz no va a existir la posibilidad de que haya tráfico ya que sería de un nodo a si mismo lo cual no tiene sentido.

Siguiendo la nomenclatura del enunciado disponemos de los siguientes tráficos entre los nodos:

• [pic 7]
• [pic 8]
• [pic 9]
• [pic 10]

Estos son los únicos tráficos entre nodos que hay en la red ya que para el resto, como viene indicado en la matriz, son nulos.

Para obtener el tráfico soportado por cada enlace es necesario saber en primer lugar los tráficos entre nodos, y una vez ya conocidos estos es necesario conocer que tráficos encamina cada nodo, ya que los nodos suelen encaminar varios tráficos con origen y destino en nodos diferentes.

Atendiendo a la topología de la red dispuesta en el enunciado vemos que tenemos 6 enlaces, por lo cual hemos de ver que tráfico pasa por cada uno de ellos atendiendo a los diferentes tráficos entre nodos numerados anteriormente:

• Tráfico que pasa por el enlace 1: pasará el tráfico con origen en el nodo 1 y destino el nodo 5, [pic 11]
• Tráfico que pasa por el enlace 2: pasará el tráfico con origen en el nodo 1 y destino el nodo 5, , y también pasará el tráfico con origen en el nodo 2 y destino el nodo 5, . [pic 12][pic 13]
• Tráfico que pasa por el enlace 3: pasará el tráfico con origen en el nodo 1 y destino el nodo 5, , el tráfico con origen el nodo 2 y destino el 5, , y el tráfico con origen el nodo 4 y destino el 3, .[pic 14][pic 15][pic 16]
• Tráfico que pasa por el enlace 4: pasará el tráfico con origen el nodo 4 y destino el 3,  y el tráfico con origen el nodo 5 y destino el nodo 1, [pic 17][pic 18]
• Tráfico que pasa por el enlace 5: pasará el tráfico con origen el nodo 5 y destino el nodo 1, [pic 19]
• Tráfico que pasa por el enlace 6: por este enlace que une el nodo 2 y nodo 3 no pasa tráfico, no está en uso, a efectos prácticos es como si este enlace no estuviera ya que no se usa en las condiciones dispuestas en el enunciado del ejercicio.

Sabiendo ya que tráficos pasan por cada uno de los enlaces y que la longitud media de los paquetes  es de L=300 bits, podemos obtener el valor del tráfico soportado por cada enlace y la capacidad mínima que se debe asignar a cada uno de ellos.

La tasa o tráfico soportado por cada enlace se define con la letra , así pues obtenemos los tráficos soportados por cada enlace:[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

Sabiendo el tráfico soportado en paquetes/segundo y la longitud media de un paquete (300 bits) podemos obtener de manera sencilla la capacidad mínima que debe tener cada enlace:

 [pic 27][pic 28]

 [pic 29][pic 30]

 [pic 31][pic 32]

 [pic 33][pic 34]

 [pic 35][pic 36]

 [pic 37][pic 38]

1. Obtenga el número medio de saltos de los paquetes en la red.

Para obtener el número medio de enlaces que atraviesa un paquete en la red hasta alcanzar su destino usamos la siguiente ecuación:

[pic 39]

En esta ecuación tenemos que como ya se ha comentado es la tasa que circula por el enlace i, y  que es definida como el tráfico total entrante en la red y se obtiene como:[pic 40][pic 41]

[pic 42]

Siendo  la tasa o tráfico medio extremo a extremo de paquetes que van del nodo origen i al nodo destino j. [pic 43]

Con estas ecuaciones podemos desarrollar y obtener el número medio de saltos que un paquete toma en la red.

[pic 44]

[pic 45]

Por lo cual 2.2308 es el número medio de saltos de un paquete en la red.

Suponga que se dispone de un capital de 200000€ para el mantenimiento mensual de la red y que el coste mensual de cada uno de los enlaces se obtiene a partir de la expresión:

  con en kilómetros.[pic 46][pic 47]

1. Obtenga, para los enlaces 5 y 6 la capacidad total a asignar y el retardo medio de transferencia siguiendo el criterio de minimización del momento k-ésimo del tiempo de tránsito. Para los casos k=0 k=. Razone los resultados.[pic 48]

Extrayendo datos del enunciado tenemos que  siendo este el presupuesto mensual disponible. Además sabemos la ecuación para calcular el coste mínimo de cada enlace que corresponde a [pic 49][pic 50]

Para comenzar a plantear la solución de este apartado disponemos de las siguientes fórmulas dispuestas en la teoría de la asignatura:

[pic 51]

Y

[pic 52]

Los 6 valores de  ya los conocemos, puesto que los hemos calculado en el apartado a). Ya que la capacidad mínima que debe tener el enlace es aquella que al menos satisfaga la demanda de tráfico soportado por cada enlace teniendo en cuenta la longitud media de paquetes.[pic 53]

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