Ejercicio ing de metodos.

NTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

En esta sección las identidades trigonométricas nos servirán para integrar ciertas combinaciones de funciones trigonométricas, además nos facilita al cálculo de funciones racionales en el cual se nos facilitara mas aplicar dichas identidades. Comenzaremos con las potencias de seno y coseno.

[pic 1]o [pic 2]

(En donde al menos uno de los exponentes, n o m es un entero positivo).

Para evaluar la integral trigonometrica [Math Processing Error]

• En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).
• La identidad [pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.

Tendremos 3 casos:

1. Cuando n es impar

Cuando [pic 8]en la integral trigonemetrica [Math Processing Error], podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad [pic 9]para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:

  [pic 10]

  [pic 11]

  [pic 12]

  [pic 13]

Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo [pic 14], [pic 15]. Como en la expresion no tenemos un [pic 16]multiplicamos ambos lados por [pic 17]y nos queda la expresión [pic 18]que ya podemos sustituir:

   [pic 19]

2. Cuando m es impar

Cuando [pic 20]en la integral trigonemetrica [Math Processing Error], podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear [pic 21]para poder expresar los factores restantes en términos del [pic 22]:

  [pic 23]

  [pic 24]

  [pic 25]   

  [pic 26]

al hacer [pic 27]y [pic 28]tendríamos

  [pic 29]

3. Cuando m y n son pares

Cuando las potencias de la integral trigonemtrica [Math Processing Error] son pares a la vez [pic 30]y [pic 31], podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo [pic 32]-y- [pic 33]algunas veces nos sera útil utilizar la identidad [pic 34]

     [pic 35]

     [pic 36]

seria igual a:

     [pic 37]

Para evaluar [Math Processing Error]

• Se puede usar una estrategia similar a la anterior.

Puesto que:

[pic 38], se puede separar un factor [pic 39]y convertir la potencia restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la identidad [pic 40].

O bien, puesto que:

[pic 41], se puede separar un factor [pic 42]y convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.

Tendremos 5 casos:

1. Cuando n es par

[pic 43]separar un factor de [pic 44]y utilice [pic 45]para lograr expresar los factores restantes en términos de [pic 46]:

    [pic 47]

    [pic 48] 

    [pic 49]

    [pic 50]

de esta manera podemos hacer [pic 51]y [pic 52]y el integral quedaría así:

   [pic 53]

2. Cuando m es impar

[pic 54]apartar un factor de [pic 55]y emplear [pic 56]para poder expresar los factores que restan en términos de [pic 57]:

  [pic 58]

  [pic 59]

  [pic 60] 

de esta manera podemos hacer [pic 61]y [pic 62]y nos queda

       [pic 63]

3. [Math Processing Error]

    [pic 64]

    [pic 65]

    [pic 66]

4. [Math Processing Error]

Al encontrarnos con este caso debemos integrar por partes tal como se muestra en el ejemplo 8.

5. cuando no cabe en 1, 2, 3, 4

Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores deberemos trasladarlo a [pic 67]y [pic 68]recordando que:

 [pic 69]  y

 [pic 70]

Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usar identidades, integración por partes y, ocacionalmente, un poco de inventiva.

• A veces será necesario poder integrar [pic 71]por medio de la fórmula establecida:

[pic 72]

• Se necesitará también la integral indefinida de la secante:

[pic 73]

Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o como sigue:

Primero se mutiplican numerador y denominador por [pic 74] :

[pic 75]

[pic 76]

Si se sustituye [pic 77], después [pic 78], también, la integral se convierte en:

[pic 79]

Así, se tiene:

[pic 80]

NOTA Para integrales que contienen cosecantes y cotangentes, la estrategia es análoga a la del par secantes-tangentes. Recordar la identidad: [pic 81]

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES QUE LES SERVIRA DE MUCHA AYUDA

Identidades recíprocas

[pic 82]

[pic 83]

[pic 84]

[pic 85]

[pic 86]

Identidades pitagóricas

[pic 87]

[pic 88]

[pic 89]

Identidades de paridad

[pic 90]

[pic 91]

[pic 92]

Ejemplos

...