Ejercicios Distribuciones discretas

Pontificia Universidad Católica del Perú Facultad de Ciencias e Ingeniería

Estadística Aplicada 1 Taller 3 - Ciclo de Verano 2022

PARTE 1: MODELOS PROBABILÍSTICOS DISCRETOS

Ejercicio 1

En una empresa que fabrica en gran escala el componente A1 del motor HONDA_F1 RACING TEAM, se decide seleccionar al azar una muestra de 50 unidades. De estudios pasados se ha estimado que el 4% de componentes A1 resultan ser defectuosos.

1. ¿cuál es la probabilidad de encontrar exactamente 5 unidades defectuosas en la muestra?
2. ¿cuál es la probabilidad de encontrar a lo más 3 unidades defectuosas en la muestra?
3. ¿cuál es la probabilidad de encontrar más de 2 unidades defectuosas en la muestra? Ejercicio 2

Juan desea hacer pruebas PCR hasta detectar 10 pacientes que den positivo para Covid19. La probabilidad que una persona de positivo con esta prueba es 0.15. (Asuma independencia en el resultado de las pruebas para estas personas)

1. Calcular la probabilidad de hacer 60 pruebas hasta obtener el décimo positivo.
2. Calcular la probabilidad de hacer más de 45 pruebas obtener el décimo positivo. Ejercicio 3

De un grupo de 50 alumnos, se sabe que 5 son de Ingeniería Industrial. Se seleccionan al azar una muestra de 15 alumnos de este grupo.

1. Calcular la probabilidad de que haya 4 alumnos de Ingeniería Industrial en la muestra
2. Calcular la probabilidad de que haya menos de 3 estudiantes de Ingeniería Industrial en la muestra

Ejercicio 4

Se sabe que, a cierto pequeño supermercado, los clientes llegan de acuerdo a un proceso Poisson con una media de 5 clientes por hora.

1. ¿Cuál es la probabilidad que lleguen por lo menos 10 clientes en 3 horas?
2. ¿Cuál es la probabilidad que lleguen a lo más 45 clientes en un día, si la jornada del supermercado es de 8 h diarias?

PARTE 2: MODELOS PROBABILÍSTICOS CONTINUOS

Los siguientes ejercicios pueden desarrollarse utilizando el formulario de distribuciones disponible en Paideia (Formulario de Distribuciones discretas y continuas.pdf).

Ejercicio 5

El tiempo de duración de las llamadas telefónicas que son atendidas en la central de informaciones de una empresa se modela con una variable aleatoria Exponencial con media de 10 minutos (β=0.1)

1. ¿Cuál es la probabilidad que una llamada dure menos de 5 minutos?
2. Si se sabe que una llamada duró más de 8 minutos, calcule la probabilidad de que haya durado menos de 12 minutos.

Ejercicio 6

El tiempo, en minutos, que transcurre entre la llegada del primer y el tercer paciente del día en un consultorio, se modela con una distribución Gamma de parámetros α = 2 y ß = 1/30. ¿Cuál es la probabilidad que el tiempo entre el primer y tercer paciente sea menor a 40 minutos?

Nota: 𝑆𝑖 𝑛 ∈ Ζ+, Γ(𝑛) = (𝑛 − 1)!

Ejercicio 7

El peso, en kg, de un niño recién nacido se puede modelar con una distribución Weibull de parámetros α = 2 y ß = 0.1. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño recién nacido pese menos de 4 kg?

Ejercicio 8

El índice de masa corporal (IMC) de un grupo de universitarios tienen distribución Normal con media 22kg/m2 y una desviación estándar de 2kg/m^2

1. ¿Cuál es la probabilidad que un universitario de dicho grupo tenga un IMC mayor a 23kg/m^2?
2. Calcule el percentil 30 de los IMC

Ejercicio 9

El tiempo de vida en horas de un componente electrónico se puede modelar con una distribución Log-normal con media de 10 mil horas y desviación de 200 horas.

¿Cuál es la probabilidad de que uno de esos componentes electrónicos tenga un tiempo de vida menor a 12000 horas?

Ejercicio 10: Identificar modelo probabilístico.

El tiempo de vida de cierto tipo de componente, en meses, se considera una variable aleatoria continua X, cuya función de densidad está dada por:

[pic 1]

𝑓(𝑥) = 0.125𝑥−0.5𝑒−0.25√𝑥        𝑥 > 0

1. Identifique cuál es el modelo probabilístico usado para la variable aleatoria X y determine sus parámetros. ¿X tiene distribución Exponencial? ¿Beta? ¿Gamma? ¿Normal? ¿Weibull?
2. Para cierto proceso se utiliza, uno por uno, componentes de este tipo. Calcule la probabilidad de que el sexto componente utilizado sea el tercero que dure más de ocho meses. Asuma independencia entre los tiempos de vida de los componentes.

PARTE 3: COMPARACIÓN ENTRE LA DISTRIBUCIÓN EMPÍRICA Y LA DISTRIBUCIÓN TEÓRICA.

Ejercicio 11

La proporción de veces que falla un dispositivo electrónico en un día (respecto al total de operaciones realizadas con este dispositivo en ese día), se modela con una variable aleatoria Beta con parámetros

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