DISTRIBUCIONES DISCRETAS

INDICE

INTRODUCCION 4

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 5

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA 8

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA 12

DISTRIBUCIÓN DE POISSON 15

DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL 17

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA 19

BANCO DE EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE DISTRIBUCIONES DISCRETAS 20

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 21

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA 26

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA 29

DISTRIBUCIÓN DE POISSON 32

DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL 35

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA 38

CONCLUSIONES 43

BIBLIOGRAFÍA 44

INTRODUCCION

La probabilidad matemática tiene sus orígenes en los juegos de azar, principalmente los juegos con dados y cartas, muy populares desde tiempos antiguos. Los primeros estudios “científicos” sobre fenómenos aleatorios se centraban en dos problemas:

Contabilizar el número de posibles resultados de lanzar un dado varias veces, respuesta que se puede encontrar en el poema De Vetula de Richar de Fournival(1200-1250) donde afirma que si se lanzan tres dados hay 216 combinaciones posibles y calcula correctamente los diferentes valores para la suma de los tres dados.

Distribuir las ganancias entre jugadores cuando el juego se interrumpía antes de finalizar, conocido como el ‘problema del reparto de apuestas’; abordado por Luca Pacioli(1445–1517) .

Es así que las distribuciones discretas tienen una complejidad matemática menor que los modelos de distribución continua. Las probabilidades de variables aleatorias discretas se pueden calcular a partir de sus expresiones matemáticas o con ayuda de tablas.

En el presenta trabajo de investigación presentamos cada uno de los tipos de distribuciones discretas – binomial, binomial negativa, de Poisson, geométrica, hipergeométrica, multinomial - ; tratamos de mostrar su modo de uso, lo que diferencia una de otra, y sus aplicaciones en la vida diaria. +

Esperamos que nuestra presentación en general colme las expectativas del docente, y si de una u otra manera hemos cometido alguna falta en cuanto a redacción o resolución, esperamos sinceramente las correcciones pertinentes de su parte.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La distribución binomial está asociada a experimentos del siguiente tipo:

Realizamos “n” veces cierto experimento en el que consideramos solo la posibilidad de éxito o fracaso.

La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de la obtención de éxito o fracaso en las demás ocasiones.

La probabilidad de obtener éxito o fracaso siempre es la misma en cada ocasión.

Esperanza matemática o media

Varianza

Desviación típica

Donde:

0 ≤ pi ≤ 1

Además:

p1 + p2 + p3 + • • • + pn = Σ pi = 1

Función de esta distribución:

Donde:

n: es el número de pruebas.

k: es el número de éxitos.

p: es la probabilidad de éxito.

q: es la probabilidad de fracaso.

Características de una distribución Binomial

Las características de esta distribución son:

En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa, etc., etc., denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).

Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no cambian.

Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.

El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

La distribución geométrica es cualquiera de estas dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes:

la distribución de probabilidad del número X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un éxito, contenido en el conjunto { 1, 2, 3,...} o

la distribución de probabilidad del número Y = X − 1 de fallos antes del primer éxito, contenido en el conjunto {0, 1, 2, 3,...}.

¿Cual de éstas es la que uno llama "la" distribución geométrica? Es una cuestión de convención y conveniencia.

Sea X: Nº de ensayos para obtener el PRIMER ÈXITO

E: Êxito F: Fracaso

S: {E , FE , FFE , FFFE …}

P(x=1) = p (E) = p = q0 p

P(x=2) = p (FE) = q p = q1 p

P(x=3) = p (FFE) = q2 p = q2 p

P(x=4) = p (FFFE) = q3 p = q3 p

P(x=5) = p (FFFFE) = q4 p = q4 p

Generalizando:

P (x) = p (FFF… FE) = qx-1 p

x-1 veces

La distribución de probabilidad geométrica es:

P(x) = p qx-1 , x = 1, 2,3,…

0 , en otros casos MEDIA VARIANZA

µ = 1 / p q / p2

Función de esta distribución:

0 , x<1

F (x) =

1 - , x ≥ 1

| a | < 1

1 + 2 a + 3 a2 + 4 a3 +… = (1- a)-2 =

Propiedades de una distribución geométrica

Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para obtener un éxito es

Para x = 1, 2, 3,.... Equivalentemente, la probabilidad de que haya x fallos antes del primer éxito es

Para x = 0, 1, 2, 3,....

En ambos casos, la secuencia de probabilidades es una progresión geométrica.

El valor esperado de una variable aleatoria X distribuida geométricamente es:

Y dado que Y = X-1,

En ambos casos, la varianza es

Las funciones generatrices de probabilidad de X y la de Y son, respectivamente,

Como su análoga continua, la distribución exponencial, la distribución geométrica carece de memoria. Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el primer éxito todavía no ha ocurrido, la distribución de probabilidad condicional del número de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que uno lanza no tienen "memoria" de estos fallos. La distribución geométrica es de hecho la única distribución discreta sin memoria.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

En estadística la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que incluye la distribución de Pascal.

El número de experimentos de Bernoulli de parámetro independientes realizados hasta la consecución del k-ésimo éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y .

La distribución geométrica es el caso concreto de la binomial negativa cuando k = 1.

Propiedades de la distribución Binomial Negativa

Su función de probabilidad es

Para enteros x mayores o iguales que k, donde

.

Su MEDIA es

Si se piensa en el número de fracasos únicamente y si se cuentan también los k-1 éxitos.

Su VARIANZA es en ambos casos:

Puede definirse como una generalización del modelo Geométrico o de Pascal. Así, dado un suceso A y su complementario Ac, cuando X representa el número de veces que se da Ac(ausencias, fallos, etc.) hasta que se produce r veces el suceso A, en una serie de repeticiones de la experiencia aleatoria en condiciones independientes, decimos que X sigue la distribución Binomial negativa. Nótese que, cuando r = 1, tenemos exactamente el modelo geométrico.

La función de densidad viene dada por:

Donde q representa el complementario de p: q = 1 − p.

MEDIA VARIANZA

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

La distribución de Poisson parte de la distribución binomial:

Cuando en una distribución binomial se

...