Distribución Discretas

: DISTRIBUCIONES DISCRETAS MÁS USUALES

En este tema se van a describir familias específicas de distribuciones de probabilidad que ocurren con cierta frecuencia en el mundo real y cuyo principal interés radica en la gran diversidad de problemas y campos científicos en los que se pueden aplicar.

Daremos las condiciones bajo las cuales se presentan distribuciones específicas y llegaremos a obtener algunas características de ellas, tales como la media y la varianza.

1. DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA.

Esta es la distribución de una variable aleatoria discreta cuyos valores posibles son equiprobables.

Definición: Una variable aleatoria X, discreta, se distribuye uniformemente sobre n puntos , ,..., , si su función de probabilidad es:

1/n i=1,2,3....

P(X=xi) =

0 resto

Propiedades:

* Media : μ=(n+1)/2

* Varianza : VAR[X] =

Ejemplo: la v.a. asociada al experimento de tirar un dado sigue una distribución uniforme discreta, cuya media es 3,5 y varianza 5,8.

2. DISTRIBUCIÓN DE BERNOUILLI

Un experimento aleatorio se dice que es de Bernouilli cuando únicamente puede tener dos resultados mutuamente excluyentes; uno de ellos se denomina "éxito" y el otro "fracaso".

Definición: Una v.a. X asociada a un experimento de Bernouilli y que toma los valores:

X(éxito) = 1 ; X (fracaso) = 0

entonces se dice que X sigue una distribución de Bernouilli, XB(p) y su función de probabilidad es:

P (X = 1 ) = p ; P ( X = 0 ) = 1 - p = q

o de forma genérica :

P ( X = x ) = p (1-p) ; x = 0 , 1.

Propiedades:

* Media: μ=p

* Varianza: VAR[X]=pq

Ejemplo:

Un agente de seguros realiza visitas a posibles clientes para contratar seguros de vida. En el 60% de las visitas, se sabe que tiene éxito. Definir la variable aleatoria asociada a este experimento y obtener la esperanza y la varianza.

Solución: X=1 vende seguro, X=0 no vende seguro. La media es 0,6 y la varianza 0,24.

3. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Este tipo de distribución se da cuando se repite varias veces la prueba de Bernouilli. La probabilidad de éxito será la misma en todas las repeticiones.

Definición: La v.a. X= “número de éxitos en n pruebas” se dice que sigue una distribución binomial de parámetros n y p, XB(n,p).

La variable puede tomar los valores { 0,1, 2,..., n} y su función de probabilidad es :

P(X=k)=P(k exitos en n pruebas)= pkqn-k

donde = , p la probabilidad de éxito y q = 1-p.

Propiedades:

* Media : μ=np

* Varianza : VAR[X]=npq

* Propiedad reproductiva (para 2 variables): Si y son dos v.a. independientes distribuidas según una B( ,p) y B( ,p) respectivamente, entonces la v.a. X= + se distribuye según una B( + ,p)

Ejemplo:

El número de veces que aparece cara al lanzar una moneda 10 veces sigue una distribución binomial de media 5 y varianza 2,5.

4. DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

Definición: En un proceso de Bernoulli con probabilidad p de éxito en cada prueba, la variable aleatoria X= “nº de pruebas en la que aparece el primer éxito” decimos que sigue una distribución geométrica de parámetro p, XG(p).

Los valores que puede tomar esta variable son X=1,2,...con probabilidades:

P(X=k)=qk -1 p

Propiedades:

* Media : μ=1/p

* Varianza : VAR[X]=q/p²

Ejemplo: Sabiendo que un jugador de parchís podrá empezar a mover sus fichas una vez obtenido un 5 al lanzar un dado:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que comience a mover sus fichas en su cuarto lanzamiento de dado?.

b) ¿Cuál es el número esperado de turnos consumidos por un jugador de parchís para poder comenzar a mover sus fichas?.

Solución: P[X=4]=0,096 y el número medio de lanzamientos de dado sería 6.

5. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA.

Definición: En un proceso de Bernoulli con probabilidad p de éxito en cada prueba, la variable aleatoria X= “nº de prueba en la que aparece el éxito r-ésimo” decimos sigue una distribución binomial negativa de parámetros r

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