Ejercicios computacionales matematicas especiales

• EJERCICIO 1:

De las siguientes ecuaciones diferenciales, encuentre el valor pedido según la información dada en cada caso. Utilice diferentes métodos numéricos y herramientas computacionales.

[pic 1]

Donde k es un parámetro semi empírico que tiene un valor de 0.693 (en unidades consistentes). Si pasada 1 hora de cultivo se tienen 345 individuos, determine cuánto tiempo (horas) debe transcurrir para garantizar que la población será de ≥≥ 1600 individuos.

Solución ejercicio 1 =

Se resuelve el ejercicio mediante 3 métodos diferentes, Runge-kutta de cuarto orden, Euler y a través de Matlab.

Se muestran los resultados obtenidos a través de los diferentes métodos.

Nota: Para la solución del método de Runge-Kutta y Euler se utiliza Excel.

Runge-Kutta de cuarto orden =

𝑘1 = ℎ*𝐹(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )               (1)

𝑘2 = ℎ*𝐹 (𝑥𝑖 + ℎ 2 , 𝑦𝑖 + 𝑘1 2 )    (2)

𝑘3 = ℎ*𝐹 (𝑥𝑖 + ℎ 2 , 𝑦𝑖 + 𝑘2 2 )    (3)

𝑘4 = ℎ*𝐹(𝑥𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑘3 )      (4)

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 1 6 (𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4 )    (5)

Se realiza la siguiente tabla en Excel, teniendo en cuenta las fórmulas anteriormente mostradas, se toma un h de 0,01; el resultado con este paso es satisfactorio.

Tabla 1. Resultados obtenidos ejercicio 1 con Runge-Kutta

Por cuestiones de simplicidad no se colocan los resultados obtenidos en toda la tabla, sino el resultado. Se observa que el tiempo necesario para que existan 1600 individuos o más es 9,24 horas aproximadamente.

En Matlab:

Siguiendo las instrucciones de la guía de estudio se ejecuta el siguiente código en Matlab, al no tener un dominio especificado en el ejercicio, es decir un intervalo para el tiempo, del ejercicio anterior se observa que el tiempo para llegar a 1600 individuos es aproximadamente 9,2 horas, por lo tanto, se realiza calculo entre 1 y 10 horas con un paso de 0,005 horas.

clear all

clc

f = inline ( '(0.693*( x - t)/t)' , 't' , 'x' );

dom = [1 : 0.005: 10];

vi = [345];

[t, x] = ode45 (f, dom, vi);

plot (t, x)

[t, x]

Al obtener los resultados se muestra el tiempo pedido:

[pic 2]

Se observa que el tiempo es de 9,24 horas, el cual esta en concordancia con el resultado obtenido a través de otros métodos.

También se grafica el comportamiento de dicha ecuación diferencial, se adjunta la gráfica obtenida a través de Matlab:

[pic 3]

Gráfico 1. Datos obtenidos con Matlab. Ejercicio 1.

Mediante Euler =

De acuerdo con el material de estudio se realiza el ejercicio 1 aplicando el método de Euler, usando la herramienta Excel. Al ejecutar dichos pasos del método se obtienen los siguientes resultados: Se toma paso de 0,01

Tabla 2. Resultados ejercicio 1 con Euler.

Se puede notar que aplicando los tres métodos anteriormente dichos para resolver una ecuación diferencial se obtienen valores que están en concordancia entre ellos y muy cercanos.

• EJERCICIO 2:

Dada la siguiente ecuación diferencial, determine qué valor debe tomar x dentro del intervalo [-5≤≤ x≤≤ 0], de modo que se obtenga el mayor valor posible de la variable y. Considere que para x = -5, y = 0.1:

[pic 4]

Solución ejercicio 2 =

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