Ejercicios de vectores

Ejercicios de vectores:

1.- A un vector libre (-5,7) pertenece un vector fijo de origen en punto A(3,-3). Determina el extremo y comprueba gráficamente el resultado.

2.- El vector fijo AB tiene la misma dirección que el vector fijo CD, sus sentidos son opuesto y la longitud de CD es tres veces la de AB. Determina las coordenadas de D sabiendo que A(3,-2), B(6,1) y C(5,5). Haz una comprobación gráfica del resultado.

3.- Sean U= y V= dos bases en el plano. Sabemos, además que ; y . ¿Cuáles son las componentes del vector respecto de la base V? ¿ Cuáles son las componentes del vector respecto de la base U?.

VECTORES EN EL PLANO

Vector fijo: Un vector fijo es un segmento orientado. El vector es un vector de origen en el punto A y extremo en B.

Ejemplo: Si A(1,2) y B(3,1). Se representa de la siguientes forma:

Los elementos que definen un vector son tres:

Módulo: Longitud del segmento . Y se escribe

Dirección : Es la recta sobre la que se encuentra el vector.

Sentido: El que indica la punta de la flecha.

Suma de vectores: Dados los vectores y . Para representar el vector suma se lleva uno a continuación de otro. Se hace coincidir el origen del segundo con el extremo del primero.

Casos: a) De igual dirección :

- Con igual sentido: es un vector con igual dirección y sentido y módulo la suma de los módulos de ambos

- Con distinto sentido: es un vector con igual dirección, sentido el del mayor módulo y módulo la diferencia de los dos dados.

b) De distinta dirección: es un vector con distinta dirección, distinto sentido y módulo = ; con  el ángulo entre los dos vectores; o sea el ángulo entre las rectas dirección de los dos vectores.

Producto de un escalar por un vector: es otro vector de igual dirección, igual sentido o distinto dependiendo de si el número es positivo o negativo y de módulo el producto del valor absoluto del número por el módulo del vector dado.

Módulo de un vector:

Sea el vector dado por los puntos A(0,1) y B(-1,2).

Si no fijamos en el triángulo que se forma, es rectángulo y podemos usar Pitágoras:

Hipotenusa =

. Tendremos

En general para hallar el módulo del vector ; con A(a,b) y B(a’,b’) haremos =

Vectores equivalentes: Son aquellos con igual módulo, dirección y sentido.

Ejemplo:

Vector libre: Es el conjunto de vectores que son equivalentes entres sí. Para representarlo cogemos como representante aquel que tiene por origen el (0,0,0).

Por ejemplo el vector libre (2,1)=

Estarán todos los que la diferencia entre las coordenadas del punto origen y extremo de cómo resultado (2,1).

Combinación lineal de vectores: Una combinación lineal de los vectores ; y es una expresión de la forma:  +  +  ; con ynúmeros reales.

Se dice que se puede escribir como combinación lineal de los vectores ; y si se puede escribir de la forma =  +  +  ; con ynúmeros reales.

Vectores linealmente dependientes: Un conjunto de vectores se dice que es l.d. cuando uno cualquiera se puede escribir como combinación lineal del resto.

Ejemplo: (2,1)= 2•(1,0)+1•(0,1). Se dice que son l. d.

Otra forma de definirlo es: Un conjunto de vectores se dice que l. d. cuando podemos escribir el vector como combinación lineal de ellos sin que los coeficientes sean todos ceros. Ejemplo son l. d. por que (2,1)= 2•(1,0)+1•(0,1); entonces (0,0)=(-1)•(2,1)+ 2•(1,0)+1•(0,1); con al menos el coeficiente de (2,1) no es cero.

Vectores linealmente independientes: Un conjunto de vectores se dice que es l.i. cuando ninguno se puede escribir como combinación lineal del resto. O de otra forma, si el vector cero se puede expresar como combinación lineal de ellos todos los coeficientes son 0.

Ejemplo: . Si (0,0)=(-1,0)+necesariamente  y deben ser 0.

Base: Un conjunto de vectores forman una base en el plano si: cualquiera vector del plano se puede escribir como combinación lineal de ellos y además son l.i.

Consecuencia de las definiciones anteriores:

a) El conjunto es siempre l. dependiente ya que siempre podremos escribir el vector como combinación lineal de los demás

b) Gráficamente dos vectores son l.d. son dos vectores de igual dirección.

c) Gráficamente dos vectores son l.i. son dos vectores de distinta dirección.

d) Dados dos vectores l.i., ai considero un tercero éste siempre se puede expresar como combinación lineal de los otros dos.

e) Dados dos vectores l.i. en el plano forman una base.

f) La base llamada canónica es la formada por

Coordenadas de un vector respecto una base a los escalares que aparecen al escribir dicho vector como combinación lineal de los elementos de la base.

Ejemplo: (1,1)=

Sea la base

(1,1)=(1,0)+(0,-1)

(1,1)= ( de donde se obtiene que:

1=

 

Entonces las coordenadas de son (1,-1) respecto de la base

Estas coordenadas serán distintas respecto de cada base.

Dado el vector (a,b); las coordenadas de respecto de la base canónica serán siempre (a,b)

El producto escalar de dos vectores es el número que se obtiene multiplicando coordenada a coordenada los dos vectores y sumando los resultados.

Ejemplo: (2,2)•(-1,1)= 2•(-1)+2•1=-2+2=0

Dos vectores se dice con son perpendiculares si su producto escalar es 0.

Ejemplo:

• =(2,1)•(-1,2)=0

Ángulo entre vectores: es el ángulo que forman las direcciones de dichos vectores.

Coseno de un ángulo formado por los vectores y . Cos 

Como consecuencia si dos vectores son perpendiculares el coseno del ángulo que forman es 0. (Si y son perpendiculares . =0 entonces cos   Cos  

4.- ¿Forman base los vectores (3,-2) y (5,-1)?

5.- Dibuja los vectores (1,3); (3,2);(4,5);(4,0);(0,4);(3,2);(2,-3);(-5,4). ¿cuáles son perpendiculares entres sí?. Escribe el primero como combinación lineal del los dos siguientes.

6.- Sabemos que 3

a) ¿Puede afirmarse que depende linealmente de y ?

b) ¿Puede afirmarse que depende linealmente de y ?

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