Ejercicios resueltos sobre vectores

Ejercicios resueltos sobre vectores

1. Demuestra gráficamente la asociatividad de vectores a+(b+c)=(a+b)+c

Solución: Dibujamos tres vectores cualesquiera:

[pic 1]

Luego sumamos b y c (con el método gráfico), para obtener b+c. Luego a este vector le sumamos a.

[pic 2]

Hacemos lo mismo pero ahora construimos primero a+b y luego sumamos c.

[pic 3]

Notamos que se obtiene el mismo resultado, por tanto a+(b+c)=(a+b)+c

2. Un peso de 2 N se cuelga de una regla formando un ángulo de 45o con la vertical y desde 10 cm del fulcro (ve la figura). Calcula la torca de dos manera: primero usando la formula escalar para la magnitud y luego determinando su dirección con la regla de la mano derecha; segundo, usando vectores.

[pic 4]

Solución: Primero calculamos la magnitud. Para ello necesitamos el ángulo entre los vectores r y F. Para ello movemos F (sin cambiar ni su magnitud ni dirección) hasta que su origen coincida con el de r.

[pic 5]

Sustituyendo valores:

τ=rFsenα=(0.1m)(2N)sen(45o)=0.1414Nm

Para encontrar la dirección de la torca, usamos la regla de la mano derecha. Ya sabemos que la torca es perpendicular al plano formado por r y F, el plano del papel, sólo falta saber si sale del papel o si entra.

[pic 6]

Como puedes ver, si el índice se coloca en dirección del primer vector (r en este caso), el medio en dirección del segundo vector (F), el pulgar (la torca τ) apunta hacia fuera de la página. Esto suele representarse como un círculo pequeño o punto (●), para tratar de visualizar la flecha desde arriba y por tanto, el círculo o punto representa la punta. Cuando la torca o el vector son hacia dentro de la página, se suele representar con una cruz, que intenta visualizar la flecha desde abajo (+).

Resolvemos ahora por vectores. Para ello necesitamos representar r y F por componentes y para ello es preciso poner un sistema de referencia. Si queremos que la torca quede sobre el eje z, el plano x-y esta sobre la página. Escojamos el vector r sobre el eje x positivo. Con esto los tres vectores quedan como sigue (no están a escala, pero no importa, pues sólo queremos las direcciones en este momento):

[pic 7]

Con esto los vectores quedan:

[pic 8]

[pic 9]

Y como el producto cruz es:

[pic 10]

O equivalentemente

a × b = (aybz — azby)i + (azbx — axbz)j + (axby — aybx)k

En el caso de la torca tenemos que:

[pic 11]

Sustituyendo valores:

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

Claramente el tamaño de este vector es 0.14142 (lo mismo que obtuvimos en la primera parte) y esta sobre el eje z, que corresponde al plano perpendicular al x-y (la pagina de la primera parte). Estas cosas demuestran que ambos resultados coinciden.

3. ¿Cuál es el ángulo entre los vectores a=(-1/3, -2/3, 4/3) y b=3i+3j-6k?

Solución: de la definición del producto punto:

a ● b = axbx +ayby+azbz= ab cosα

despejando el coseno del ángulo:

(axbx +ayby+azbz)/ab = cosα

De donde

cosα=(-1/3)(3)+(-2/3)(3)+(4/3)(-6)/(1/9+4/9+16/9)1/2(9+9+36)1/2

cosα=(-1-2-8)/(21/9)1/2(54)1/2=-11/1261/2=-11/11.225≈-0.98

y, por tanto

α=cos-1(-0.98)≈168.51o

En la figura siguiente puede ver los vectores. El rojo es el vector a y el azul el vector b.

[pic 15]

Si rotamos los ejes puedes ver que el ángulo es casi llano (180o)

[pic 16]

4. Si a=(1, -2, 3) y b=3i+3j-Xk =¿Cuál debe ser el valor de X para que los vectores sean perpendiculares?

Solución: ya sabemos que dos vectores son perpendiculares si

a ● b = axbx +ayby+azbz=0

por lo que

a ● b = (1)(3)+(-2)(3)+(3)(X)=0

3-6+3X=0

3x-3=

X=1

Puedes verificar que el producto punto es cero.

a ● b = (1)(3)+(-2)(3)+(3)(1)=3-6+3=0

en el dibujo de abajo(rotado para que se aprecie mejor la perpendicularidad) puedes ver que con ese valor de x el ángulo entre los vectores es 90 grados.

[pic 17]

5. ¿Cuál es la proyección del vector b=(2, 1) sobre el vector a=(3, 4)?

Solución: sabemos que:

a ● b = axbx +ayby= a ● ba= aba

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