Aplicaciones de la derivada.- Вachillerato.- Тeoría y ejercicios
Enviado por dsfefsd • 7 de Diciembre de 2014 • Trabajos • 1.462 Palabras (6 Páginas) • 290 Visitas
APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Crecimiento y decrecimiento.
Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o
decreciente en dicho punto:
" Una función f(x) es creciente en un punto a, si su derivada es positiva
" Una función f(x) es decreciente en un punto a, si su derivada es negativa.
Es decir,
Si a x f a f = ⇒ > ′ en creciente es 0 ) ( Si a x f a f = ⇒ < ′ en e decrecient es 0 ) (
Como 0 ) ( ) ( > − + a f h a f ⇒ ) ( ) ( a f h a f > + ,es decir, la función es creciente en
a x =
En este caso 0 ) ( ) ( < − + a f h a f ⇒ ) ( ) ( a f h a f < + , es decir, la función es
decreciente en x = a
Estudiar la monotonía de una función es hallar los intervalos en los que es creciente y
decreciente.
Se procede de la siguiente forma:
• Se halla la derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante
• Con los puntos en los que se anula la derivada y los que no pertenecen al
dominio dividimos el dominio en intervalos.
a a+h
f(a)
f(a+h)
t
creciente
a
f(a+h)
f(a)
a+h
decreciente
0
) ( ) (
) (
0
>
− +
= ′
→
h
a f h a f
lím a f
h
0
) ( ) (
) (
0
<
− +
= ′
→
h
a f h a f
lím a f
h
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• Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los
intervalos resultantes.
Ejemplo 1.
Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
2 9 6 ) (
2 3
+ + − = x x x x f
Hallamos la derivada: 9 12 3 ) (
2
+ − = ′ x x x f
La igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante:
0 9 12 3
2
= + − x x ⇒ 0 3 4
2
= + − x x
⎩
⎨
⎧
=
±
=
− ±
=
1
3
2
2 4
2
12 16 4
x
Dividimos el dominio R por los puntos 3 y 1 y obtenemos los intervalos
) 1, ( − ∞ , ) 3, 1( y ) , 3( + ∞
Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo:
Para x = 0, 9 ) 0( = ′ f , es decir, positiva
Para x = 2, 3 ) 2( − = ′ f , es decir, negativa
Para x = 4, 9 ) 4( = ′ f , positiva
La monotonía de la función queda reflejada en la siguiente tabla:
Intervalos (- ∞ , 1) (1, 3) (3, + ∞ )
Signo de la derivada + - +
Función À Â À
...