SOLUCIONES EJERCICIOS DERIVADAS

SOLUCIONES

EJERCICIOS DERIVADAS

Ejercicio nº 1.-

Calcula  f '(2),  utilizando la definición de derivada, siendo:

f (x) = 2x2 + 5x

Solución:

[pic 1]

[pic 2]

Ejercicio nº 2.-

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva  f (x) = 2x2 - 3x + 1,  que es paralela a la recta  2x + 3y - 1 = 0.

Solución:

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

∙        Ordenada en el punto:

[pic 6]

∙        Ecuación de la recta tangente:

[pic 7]

Ejercicio nº 3.-

Considera la función:

f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1

a)        Estudia su crecimiento y halla sus máximos y mínimos.

b)        Estudia su curvatura y obtén sus puntos de inflexión.

Solución:

a)        f '(x) = 6x2 + 18x + 12

f '(x) = 0   →   6 (x2 + 3x + 2) = 0

[pic 8]

∙        Signo de  f '(x):

[pic 9]

f (x)  es creciente en  (-∞, -2) ∪ (-1, +∞);  es decreciente en  (-2, -1). Tiene un máximo en  (-2, -3) y un mínimo en  (-1, -4).

b)        f ''(x) = 12x +18

[pic 10]

∙        Signo de  f ''(x):

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

Ejercicio nº 4.-

[pic 14]

b)        Con el resultado obtenido, calcula  f '(2).

Solución:

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Ejercicio nº 5.-

Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva  f (x) = 4x3 - 2x + 1  que son paralelas a la recta  y = 10x + 2.

Solución:

∙        Si son paralelas a la recta  y = 10x + 2,  tienen la misma pendiente; es decir, ha de ser:

f '(x) = 10

[pic 18]

∙        Ordenadas en los puntos:

f (-1) = -1;   f (1) = 3

∙        Ecuaciones de las rectas tangentes:

-        En  x = -1   →   y = -1 + 10 (x + 1)   →   y = 10x + 9

-        En  x = 1   →   y = 3 + 10 (x - 1)   →   y = 10x - 7

Ejercicio nº 6.-

Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:

f (x) = (x -2)2 (x + 1)

Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa.

Solución:

∙        Derivada:

f '(x) = 2 (x - 2) (x + 1) + (x - 2)2 = (x - 2) [2 (x + 1) + x - 2] =

= (x - 2) (2x + 2 + x - 2) = 3x (x - 2) = 3x2 - 6x

[pic 19]

∙        Signo de  f '(x):

[pic 20]

f (x)  es creciente en  (-∞, 0) ∪ (2, +∞);  es decreciente en  (0, 2). Tiene un máximo en  (0, 4) y un mínimo en  (2, 0).

∙        Segunda derivada:

f ''(x) = 6x - 6

f ''(x) = 0   →   6x - 6 = 0   →   x = 1

∙        Signo de  f ''(x):

[pic 21]

f (x)  es convexa en  (-∞, 1);  es cócava en  (1, +∞). Tiene un punto de inflexión en  

(1, 2).

Ejercicio nº 7.-

Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una media de 200 helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos helados menos al día. Si el coste por unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta es máximo el beneficio diario que obtiene el heladero? ¿Cual será ese beneficio?

Solución:

Llamamos  x  al número de céntimos en los que aumenta el precio. Así, cada helado costará  50 + x  céntimos; y venderá  200 - 2x  helados diarios.

Por tanto, por la venta de los helados obtendrá unos ingresos:

I (x) = (50 + x) (200 - 2x)

Pero tiene unos gastos de:  G (x) = (200 - 2x) · 40

Luego, el beneficio será de:

B (x) = I (x) - G (x) = (50 + x) (200 - 2x) - (200 - 2x) · 40 = (200 - 2x) (50 + x - 40) =

= (200 - 2x) (x + 10) = -2x2 + 180x + 2 000

Hallamos  x  para que el beneficio sea máximo:

B '(x) = -4x + 180

B '(x) = 0   →   -4x + 180 = 0   →   x = 45

B ''(x) = -4;   B ''(45) < 0   →   en  x = 45  hay un máximo

Por tanto, obtendrá el máximo beneficio vendiendo cada helado a 50 + 45 céntimos de euro. En este caso, el beneficio sería de  B (45) = 6 050 céntimos, es decir, de 60,50 euros.

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