El Problemario de algebra lineal

UNIDAD DE APRENDIZAJE 3 “ECUACIONES E INECUACIONES”

Objetivo: El alumno resolverá ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones para contribuir a la toma de decisiones sobre problemas de su entorno cotidiano y profesional.

TEMA 3.1 “ECUACIONES DE PRIMER GRADO”

• TAREAS

• TAREA 7

• Dimensiones de una ventana. Una ventana de vidrio de color se está diseñando en forma de un rectángulo rematado por un semicírculo, como se ve en la figura. El ancho de la ventana debe ser 3 pies, pero la altura h no se determina. Si se han de usar de vidrio, encuentre la altura h.[pic 3]

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[pic 7]

• Construcción de un silo. Se ha de construir un silo grande en forma de cilindro circular con una semiesfera en la parte superior. El diámetro del silo debe ser 30 Ft, pero la altura no se ha determinado. Encuentre la altura h del silo que resultara en una capacidad de  11,250 [pic 8]

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[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

• Dimensión de un cono. El cono de barquillo de la figura debe contener  de helado cuando se llene hasta el fondo. El diámetro de la figura es  y la parte superior del helado tiene la forma de semiesfera. Encuentra la altura h del cono.[pic 14][pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

TEMA 3.2 “DESIGUALDADES LINEALES”

• INVESTIGACIONES

• DESIGUALDADES (INECUACIONES) Y SUS PROPIEDADES

Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo de igual hay unos símbolos que son:<,>, ≤, ≥. En una definición decimos que:

Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones siguientes:

• X es mayor que Y [pic 19]
• X es menor que Y [pic 20]

Sentido de una desigualdad.

Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos o contrarios en las desigualdades, según que el primer miembro sea mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.

• PROPIEDADES

Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro.

Efectivamente si en la desigualdad [pic 21] se designa por "c" lo que falta a "b" para ser igual a "a", se tiene:

[pic 22]

Añadiendo un mismo número, positivo o negativo a los miembros, se puede escribir:

[pic 23]

Suprimiendo "c" en el segundo miembro, resulta evidentemente

[pic 24]

Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo.

Sea la desigualdad     [pic 25], es decir, [pic 26]

Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un número positivo "m", resulta:

[pic 27]

Suprimiendo el término positivo "cm", en el segundo miembro disminuye, y se tiene:

[pic 28]

Si "m" es recíproco de un número positivo, queda evidenciada la segunda parte de esta propiedad

Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo.

Sea la desigualdad          [pic 29], es decir, [pic 30]

Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene:

[pic 31]

Suprimiendo - cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto,

[pic 32]

Si -n es recíproco de un número negativo, queda demostrada la segunda parte del enunciado.

Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido.

Sea la desigualdad   [pic 33], en la que "a" y "b" son positivos. Multiplicando sus dos miembros por "b", resulta:

[pic 34]

En el primer de esta desigualdad, sustituyendo "b" por "a", la desigualdad se refuerza; por tanto:

[pic 35]

Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; pero hay cambio de sentido si el grado de la potencia es par.

Sea la desigualdad -a < -b a) Multiplicando sus dos miembros por b2 se obtiene:

[pic 36]

En el primer miembro, reemplazando b2 por a2, la desigualdad se refuerza; luego se puede escribir:

[pic 37]

b) Multiplicando los dos miembros de la primera desigualdad por -b y haciendo análogas transformaciones, la desigualdad cambia de sentido, porque sus términos cambian de signo, y se tiene:

[pic 38]

Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido, resulta una desigualdad de mismo sentido que aquellas.

Sean las desigualdades [pic 39] Se puede escribir:

[pic 40]
[pic 41]
[pic 42]

Sumando miembro a miembro y suprimiendo[pic 43], se tiene, sucesivamente:

[pic 44]
[pic 45]

Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo.

Sean las desigualdades [pic 46] y [pic 47] Invirtiendo la segunda desigualdad y sumándola a la primera se tiene

[pic 48]
[pic 49]

[pic 50]

Restando d + c de cada miembro, resulta:

[pic 51]

TEMA 3.3 “SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS”

• INVESTIGACIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones.

• Método de sustitución

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

• Método de igualación

1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2.  Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

• Método de reducción

1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.
2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
3. Se resuelve la ecuación resultante.
4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

• TAREAS

• TAREA 11

• Use el método de sustitución para resolver el sistema.

(Dar clic en el sistema para ver la solución de forma gráfica).

1. [pic 52]

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• TAREA 12

• Resolver el sistema por los métodos de sustitución, igualación y gráfico.

(Dar clic en el sistema para ver la solución gráfica)

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