El sistema de los números complejos

Capítulo 1: El sistema de los números complejos

Números complejos.

El conjunto de los números complejos es  donde un número complejo Z se representa mediante [pic 1][pic 2]

La suma y el producto de número complejos está definida por:

[pic 3]

El conjunto  junto con las operaciones definidas tiene estructura de cuerpo conmutativo, es decir, se verifican las propiedades de Clausura, conmutativas, asociativas, distributivas y poseen existencia de elemento neutro y elementos inversos.[pic 4]

[pic 5]

Formas de representar números complejos.

• Forma binómica: [pic 6]
• Forma polar:  donde  es el módulo y  el argumento[pic 7][pic 8][pic 9]
• Forma trigonométrica: [pic 10]
• Forma exponencial o de Euler: [pic 11]

En todos los casos se da que:

• [pic 12]
• [pic 13]
• [pic 14]
• [pic 15]

Plano complejo y complejo extendido.

El plano complejo es una correspondencia donde a cada  se le asigna un par ordenado [pic 16][pic 17]

El plano complejo extendido es el plano complejo en unión como el infinito (lo tratamos como punto)

[pic 18]

Topología del plano complejo.

[pic 19]

[pic 20]

Capítulo 2: Funciones complejas

Función compleja de variable compleja.

Una función compleja a variable compleja es una correspondencia que asigna a cada número complejo Z un número complejo W.
Aún asi, las funciones complejas pueden ser univaluadas (única asignación de W para cada Z) o multivaluadas (Para cada Z hay más de un valor W como imagen). Las segundas pueden considerarse como ramificaciones para cada W en el cual haya una correspondencia.

[pic 21]

Para los análisis de limite y continuidad de las funciones complejas nos basamos en un análisis de sus funciones componente.

Sea
[pic 22]

[pic 23]

Luego también se cumplen todas las propiedades de los límites que conocemos y los límites infinitos, al infinito e infinitos al infinito.

La continuidad de una función se resume a la continuidad de sus funciones componentes.

Derivada en un punto.

Sea  una función cuyo dominio contiene un entorno de . Se dice que  es derivable en dicho punto si existe el límite y además [pic 24][pic 25][pic 26]

[pic 27]

Asi entonces una función  es derivable en un abierto  si es derivable en cada punto de .[pic 28][pic 29][pic 30]

Teorema.

Si  es derivable en  entonces  es continua en [pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

[pic 35]

Se cumplen también todas las reglas de derivación conocidas desde la suma hasta la regla de la cadena.

Función Analítica.

Se dice que una función es analítica en  si es derivable en todo punto de algún entorno de . Y en este caso se dice que  es un punto regular de la función .[pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

Una función  es analítica en un conjunto D si es analítica en todos los puntos dentro del conjunto D.[pic 40]

Una función es entera si es analítica en todo el plano complejo.

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Sea la función dada por  donde . Si  es derivable en entonces se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann[pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

Además.

[pic 47]

Demostración:

[pic 48][pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

Luego se tiene que   y  [pic 52][pic 53][pic 54]

[pic 55]

Capítulo 3: Integración compleja

Nos interesa estudiar funciones complejas a variable real del tipo:  [pic 56]

• W(t) tiene límite en  si x(t) e y(t) tienen límite en . Además:  [pic 57][pic 58][pic 59]
• W(t) es continua en  si x(t) e y(t) son continuas en .[pic 60][pic 61]
• W(t) es derivable en  si x(t) e y(t) son derivables en . Además: ) = x’() + i y’()[pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66]

Integración de función compleja a variable real.

Sean  funciones seccionalmente continuas en  entonces definimos:[pic 67][pic 68]

[pic 69]

Las propiedades para dichas integrales son las conocidas, suma, multiplicación por escalar, separación de intervalos, inversión de intervalo, regla de Barrow…

Curvas en el plano complejo.

 constituye la gráfica de un arco o curva en el plano complejo.[pic 70]

La curva tiene una orientación natural desde z(a) hasta z(b) y podemos parametrizarla según x = x(t) e y = y(t).

[pic 71]

Sea C una curva en el plano complejo de ecuación  se dice que[pic 72]

C es una curva o arco simple de Jordan si no se corta a sí misma es decir si
[pic 73]

• C es una curva cerrada simple si C es un arco simple excepto por el hecho de que z(a) = z(b).
• C es una curva suave si z’ es continua en  y .[pic 74][pic 75]
• C es una curva seccionalmente suave si es una curva que consiste en finitos arcos suaves unidos.
• C está orientada positivamente si se recorre en sentido contrario a las agujas del reloj

Observación: Si C es seccionalmente suave entonces  es integrable en .[pic 76][pic 77]

Luego:

[pic 78]

Integración de función compleja a variable compleja.

Sea C una curva seccionalmente suave de ecuación z = z(t) y  una función compleja continua sobre C:[pic 79]

Se llama integral de línea o de contorno de  a lo largo de C a:[pic 80]

[pic 81]

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