Ensayo De Algebra

Números Complejos

Según la historia, la primera aparición de los número complejos se ve en el Siglo I con Herón de Alejandría, donde en una de sus obras aparece la operación √(81-144) aunque es tomada como √(144-81). Después no remontamos al año 275 en la obra de Diophantus. En su intento de cálculo de los lados de un triángulo rectángulo de perímetro 12 y área 7, Diophantus planteo resolver la ecuación 336x2 + 24 = 172x, ecuación de raíces complejas y como puede ser comprobado fácilmente.

Pasándonos a unas épocas un poco más recientes, hablaremos del siglo XVI, donde se vieron los primeros estudios.

Un italiano de nombre Jerome Cardan, el en una de obras describe cómo solucionar ecuaciones de tercer y cuarto grado. Durante dos siglos siguientes en el siglo XVII Rene Descartes fue el que nombro a los nuevos números como imaginarios. También nos dice que las ecuaciones deben tener tantas raíces como su grado nos indique. Unos años después lo números complejos fueron ampliamente utilizados por Bernoulli y Leibniz donde, estos usaron números imaginarios para resolver integrales pero cada uno tenía distintas maneras de verlo, Euler fue el que resolvió la controversia entre ellos, él fue el primero en usar la notación i=√1 , haciendo además un uso fundamental de los números complejos al relacionar la exponencial con las funciones trigonométricas.

Comenzando la segunda mitad del Siglo XIX, las dudas y misterios de los números complejos han desaparecido, aunque aún hay libros del siglo XX huían de utilizarlos.

Con la aparición de las ecuaciones de segundo grado, además del concepto de los números reales que ya se sabía que eran desde tiempos atrás, se encontró con el número imaginario, i^2=-1 o i=√(-1).

A este se le llama número complejo y es cuando encontramos en una ecuación números reales e imaginarios; (a+bi) donde a es el número real y bi el imaginario. Con los números complejos se pueden hacer las operaciones fundamentales.

Los números complejos se pueden sumar, restar, dividir y multiplicar usando las reglas del algebra, la suma de complejos quiere decir que es la suma de dos vectores. Dos números complejos son iguales cuando son simultáneamente sus partes reales e imaginarias.

Podemos graficar un numero complejo z en el plano xy donde a sobre el eje x y bi sobre el eje y. El cual un numero complejo es un punto en el plano esta representación se le llama plano complejo o de Argand.

El conjugado de Z se representa por pero cambia el signo de la parte imaginaria del número complejo

Suma y Resta

Cuando hablamos de una suma y resta de números complejos, las dos se hacen de la misma manera de (a+bi) nos tiene que quedar de esta forma

(a+bi)+(c+di). Por ejemplo si tenemos:

(2+5i)+(3-8i)

Esta ecuación nos quedaría:

(2+3)+(5-8)i = (5-3i)

Y en una resta nos quedaría:

(2+5i)-(3-8i) = (2-3)+(5+8)i = -1+13i

En la multiplicación se usa de igual manera el método usual. Por ejemplo:

(2+5i)(3-8i) = (6-16i-15i+〖40i〗^2 ), entonces es aquí cuando reemplazamos i^2 por -1. Entonces tendremos

(2+5i)(3-8i)= (6-i+40)= 46-i

Cuando hablamos de división se escribe de modo de fracción ((2+5i))/((3-8i) ) , entonces el denominador lo tomamos y lo multiplicamos con lo anterior de igual manera en fracción pero con el signo diferente:

( (2+5i))/((3-8i) ) ((3+8i))/((3+8i) ) Y la resolvemos igual cambiando i^2por -1, para que nos quede:

( (2+5i))/((3-8i) ) ((3+8i))/((3+8i) )= ( 15+31i+〖40i〗^2)/((9-〖64i〗^2 ) ) (-1) = ( 15-40-31i)/((9+64) )= (-25-31i)/73 =(-25)/73-31i/73

En este último, que es el dividendo podemos ver los números complejos conjugados, estos son los que sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias tienen diferente signo.

Forma Polar de los Números Complejos

Otra forma de expresar un número complejo es de la forma polar o forma trigonométrica, se compone por modulo y argumento; y esta es expresa así:

z=r(cosθ+isenθ)

Donde r=|z|=√(a^2+b^2 ). O r=|z|=√(x^2+y^2 )

|z| nos representa el modulo.

El argumento de la forma polar es el que forma el vector con el eje real, que es determina:

tanθ=b/a θ=〖tan〗^(-1) b/a

La expresión de la forma polar en número complejo es r o z es el modulo y ϑ es el argumento.

Ahora ya conocemos una forma binaria de un numero complejo que podemos pasarlo a forma polar y viceversa.

Ejemplo:

z=(30+40i) Teniendo esta ecuación lo primero que tenemos que hacer es elevar al cuadrado los términos a y b para después sacar su raíz; que sería la formula r=|z|=√(a^2+b^2 )

Sustituyendo nos quedaría:

r=|z|=√(a^2+b^2 )=√(〖30〗^2+〖40〗^2 )=√(900+1600 )=50

Después de haber obtenido este valor sacamos el valor de θ con la fórmula anteriormente mencionada, sustituyéndola obtenemos

tanθ=40/30 θ=〖tan〗^(-1) 40/30= 〖tan〗^(-1) 1.33=53.06

Ya teniendo estos resultados los acomodamos y nos queda como resultado:

r=50(cos53.06+isen53.06)

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