Ensayo Funciones.

En un campo tan amplio como lo es el campo de la ingeniería, se utilizan no solo las funciones, sino todos o casi todos los métodos matemáticos. Por su parte, las funciones matemáticas se han convertido en elementos indispensables de los profesionales de la ingeniería; quienes suelen aplicar frecuentemente dichas funciones para resolver cualquier estudio que requiera la relación entre magnitudes o cantidades; donde quizás sea necesaria la realización de simulaciones para obtener una mejor comprensión de los resultados que se buscan, e incluso pueden hacer comparaciones con datos ya existentes sobre el estudio, creando una estadística del mismo.

Funciones

Sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una tríada (f, X, Y), donde f es una relación de X en Y que satisface las dos siguientes condiciones:

1. dom(f) = X

2. x f y Ù x f z Þ y = z

Es costumbre generalizada escribir

Para indicar que (f, x, y) es una función de X en Y. Aún más, en lugar de x f y o (x, y) Î f, se escribe Y = f(x)Y. En este caso, se dice que y es la imagen de x mediante f y que x es una preimagen de y.

Ejemplo

1. Si X= { a, b, c, d } y Y = { m, n, r } , entonces la siguiente relación es una función de X en Y

f= { ( a, n) , ( b, m) , ( c, n) , (d, r) }

f (a) = n , f (b) = m

f (c) = n , f(d) = r

Por ser una función, un caso particular de una relación, el dominio y el rango de una función se definen de igual manera y se denotan como Dom(f) y Rang(f) para una función f dada.

Ejemplo

En el caso anterior, Dom(f) = {a,b,c,d} y Rang(f) = {m,n,r}.

Funciones Iguales

Una función de X en y es, por ser una relación, un subconjunto de X x Y. Luego, dos funciones son iguales si éstas son iguales consideradas como conjuntos. Sin embargo, el siguiente teorema nos proporciona un criterio más manejable de igualdad de funciones.

Teorema: Sea f: X ® Y y g : X ® Y dos funciones.

Entonces f = g Û f(x) = g (x), " " x Î X

Demostración

(Þ) y = f (x) Û (x, y) Î f Û (x, y) Î g Û y = g(x)

Luego, f (x) = g(x)

(Ü ) (x, y) Î f Û y= f (x) Û y = g (x) Û ( x, y) Î g

Luego, f = g

Función Inyectiva

Definición: Una función f : X ® Y es inyectiva o es una inyección si satisface la condición.

f (x1) = f ( x2 ) Þ x1 = x2

o, lo que es lo mismo (contrarrecíproco) ,

x1 ¹ x2 Þ f (x1) ¹ f (x2)

Observar que la condición anterior simplemente dice que cualquier elemento y de Y tiene a lo sumo una preimagen.

Ejemplos

1. La siguiente función es inyectiva

2. La función g : N ® N. Está definida g ( n ) = 2n. Probar si es inyectiva.

Solución

g ( n ) = g ( m ) Þ 2n = 2m

Þ n = m

1. Una función lineal h : R ® R. Se define h (x) = a x + b a ¹ 0. Probar si es inyectiva.

Solución

h (x1) = h (x2) Þ a x1 + b = a x2 + b

Þ a x1 = a x2

Þ x1 = x2

Función sobreyectiva

Definición: Una función f : X ® Y es sobreyectiva si o, lo que es lo mismo, " y Î Y , $ x Î X / f (x) = Y

Observar que esta condición dice que todo elemento de Y tiene una preimagen.

Ejemplos

1. La siguiente función es sobreyectiva

2. Una función Lineal h : R ® R Está definida h (x) = a x + b, a ¹ 0. Probar si es sobreyectiva.

Solución

Para y Î R, tomamos x = y tenemos que h(x) = h = a

Función biyectiva

Definición: Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo

La siguiente función es biyectiva:

Ejercicios Propuestos

1. Probar que la siguiente función es biyectiva f : R  R se define f (x) = x2

2. Probar que la

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