Equacions i sistemes. Abans de començar
eeefeereewEnsayo13 de Diciembre de 2025
9.980 Palabras (40 Páginas)27 Visitas
[pic 1]
Objectius[pic 2]
En aquesta quinzena aprendreu a:
- Resoldre equacions de segon grau completes i incompletes.
- Resoldre equacions biquadrades i d'altres que es poden reduir a una de segon grau.
- Resoldre sistemes d'equacions lineals fent servir els diferents mètodes.
- Resolver Resoldre sistemes d'equacions de segon grau.
- Aplicar el llenguatge de l'àlgebra a la resolució de problemes.
[pic 3]
[pic 4]Equacions i sistemes
Abans de començar
[pic 5]
Molts problemes pràctics a la vida real condueixen a la resolució d'una equació o d'un sistema d'equacions. Traduir al llenguatge de l'àlgebra és imprescindible en aquests casos; el llenguatge algebraic ens serveix per expressar amb precisió relacions difícils de transmetre amb el llenguatge habitual.
Proveu a fer a algun amic el joc que proposa el mag, per endevinar el número pensat n'hi ha prou restant 1000 al resultat que us doni i dividir-lo per 100, com podeu comprovar si plantegeu una equació:[pic 6]
Penseu un número | x |
Dupliqueu-lo | 2x |
Afegiu-hi 5 unitats | 2x+5 |
Multipliqueu-lo per 5 | 5·(2x+5) |
Sumeu-hi 75 unitats | 5·(2x+5)+75 |
Multipliqueu-lo tot per 10 | 10·[5·(2x+5)+75] |
10·[5·(2x+5)+75]= Resultat 10·(10x+25+75)= Resultat 10·(10x+100)= Resultat 100x+1000= Resultat
x=( Resultat-1000)/100
Equacions de segon grau[pic 7]
Les equacions de segon grau tenen la forma:
ax2 + bx + c =0
Es resolen aplicant la fórmula:
[pic 8]
Estas ecuaciones pueden tener dos soluciones, una o ninguna solución, según sea b2-4ac, el llamado discriminante.
b2-4ac > 0 Hi ha dues solucions.[pic 9]
b2-4ac = 0 Hi ha una solució doble: x=-b/2a
b2-4ac < 0 No hi ha solució.
[pic 10][pic 11]
Ecuaciones incompletas[pic 12]
Si b o c, o tots dos són zero direm que l'equació és incompleta.
En aquests casos, seguir els passos que s'indiquen a continuació és més útil que no pas aplicar la fórmula.
- Si b=0 ax2 + c =0 ⇒ ax2=-c ⇒ x2=-c/a
Si –c/a>0 hi ha dues solucions[pic 13][pic 14]
- Si c=0 ax2 + bx =0
Traiem el factor comú de x: x(ax+b)=0
⇒ x=0, x=-b/a són les dues solucions.
Equacions i sistemes
[pic 15]
Resoldre: x4-5x2+4=0 x2=t t2-5t+4=0 t = 5 ± 25 − 16 = 5 ± 3 = ⎧4 2 2 ⎨ ⎩1 t = 4 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = ± 4 = ±2 t = 1 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ± 1 = ±1 |
Resoldre: x − 2 = 4 1 − x Traiem denominadors: x(1-x)-2=4(1-x) Operem: x-x2-2=4-4x Resolem: x2-5x+6=0 x = 5 ± 25 − 24 = 5 ± 1 = ⎧3 2 2 ⎨ ⎩2 Comprovem les solucions: x=3, x=2 Són vàlides totes dues. |
Resoldre: x − 1 + x = 7 Deixem l'arrel en un costat: x − 1 = 7 − x Elevem al quadrat: ( x − 1)2 = (7 − x)2 x-1=49-14x+x2 Resolem: x2-15x+50=0 x = 15 ± 225 − 200 = 15 ± 5 = ⎧10 2 2 ⎨ 5 ⎩ Comprovem les solucions: x=10 no és vàlida x=5 és la solució |
Altres equacions
Equacions biquadrades
Són equacions que presenten la forma ax4+bx2+c=0
se'ls anomena biaquadrades.
Per resoldre-les n'hi ha prou amb fer x2=t, obtenint una equació de segon grau: at2+bt+c=0, en la qual[pic 16]
t = − b ±
b2 − 4ac 2a
⇒ x = ±[pic 17]
x = ±
[pic 18]A continuació veiem algunes equacions que es transformen en una de segon grau. Als exercicis resolts podeu veure més exemples.
[pic 19]
Racionals
Una equació que té la incògnita en el denominador
El procés per resoldre-la és treure denominadors, operar i resoldre l'equació final.[pic 20]
Cal eliminar de les solucions els valors que anul·lin el denominador, ja que en aquest cas no seria vàlida.[pic 21]
[pic 22]
Irracionals
Una equació que té la incògnita dins d'una arrel és anomenada irracional.[pic 23]
El procés per resoldre-la és, aïllar l'arrel, elevar al quadrat els dos termes de la igualtat, operar i resoldre l'equació final.[pic 24][pic 25]
En elevar al quadrat solen introduir-se solucions "estranyes" per la qual cosa cal comprovar-les en l'equació de partida.[pic 26]
Equacions factoritzades[pic 27]
1 | -6 | 11 | -6 |
1) | 1 | -5 | 6 |
1 | -5 | 6 | 0 |
2) | 2 | -6 | |
1 | -3 | 0 |
Les solucions d’una equació de la forma:
anxn+an-1xn-1+ +a2x2+a1x+a0=0
són les arrels del polinomi del primer membre.
...