Espacios Muestrales

Definiciones Básicas

Como vimos anteriormente, para asignar un valor numérico a la probabilidad de que suceda un evento dado, los enfoques clásico y relativista utilizan el valor de su frecuencia relativa de ocurrir, este valor varía de 0 a 1.

Esta manera de asignar probabilidades junto con un enfoque axiomático utilizando teoría de conjuntos nos proporciona un modelo matemático con el que vamos a establecer la definición con la cual asignaremos el valor probabilístico de un evento dado. Para ello primero vamos a requerir de un poco de terminología que nos será de utilidad para enunciar esta definición.

Espacios Muestrales

La colección que consta de todos los resultados posibles asociados a un experimento o fenómeno aleatorio se llama espacio muestral y lo denotaremos mediante la letra griega omega Ω. A cada resultado particular lo llamaremos punto muestral. Si un espacio muestral Ω tiene un número finito de puntos como en el ejemplo 1 de la sección 1, entonces se denomina espacio muestral finito. Si tiene tantos puntos muestrales como números naturales, se denomina espacio muestral infinito numerable o discreto, y si tiene tantos puntos como los hay en un intervalo [a,b]⊂R o bien consiste de un producto de intervalos, entonces se denomina espacio muestral continuo. En ese caso, solamente los subconjuntos especiales (llamados medibles) serán eventos.

En la terminología de teoría de conjuntos, un evento asociado a un experimento aleatorio es pues un subconjunto A del espacio muestral Ω. Si el resultado de un experimento aleatorio es un elemento de A, entonces decimos que el evento A ha ocurrido. Un evento que consiste de un solo punto de Ω, es decir, {a}∈Ω se llama evento elemental o simple.

Ejemplo 1. Para el experimento del lanzamiento de un dado balanceado una vez el espacio muestral es el conjunto finito Ω={1,2,3,4,5,6}. Como podemos observar, si A es un evento, de este espacio muestral, entonces A puede ser cualquiera de los siguientes conjuntos

{1},{2},{3},{4},{5},{6}

En este caso, todos los eventos de Ω son simples.

Ejemplo 2. Para el experimento del lanzamiento de una moneda balanceada dos veces, el espacio muestral Ω es el conjunto finito Ω={SS,AS,SA,AA}. Y el evento en el cual resulta águila almenos una vez es el conjunto E={AS,SA,AA}.

Ejemplo 3. Consideremos el experimento en el cual lanzamos una moneda balanceada hasta que aparezca un sol y luego contamos el número de veces que lanzamos la moneda. El espacio muestral de este experimento es el conjunto Ω={1,2,3,…,∞}. Aquí ∞ se refiere al caso en el cual nunca aparece una cara y entonces la moneda es lanzada un número infinito de veces. Puesto que cada entero positivo es un elemento de Ω , el espacio muestral es infinito. De hecho, este es un ejemplo de un espacio muestral que es infinito numerable o discreto. En este caso cada subconjunto de Ω es un evento. Un modelo matemático que sea de utilidad para estudiar un fenómeno aleatorio debe incluir los siguientes elementos:

a) Un conjunto Ω≠∅ que represente al espacio muestral

b) Una colección de subconjuntos de Ω denotada por C que represente a los eventos.

c) Una función P:C→[0,1] que asigne a cada elemento la probabilidad que tiene de ocurrir.

Más formalmente tenemos lo siguiente.

Axiomas de Probabilidad

Sea Ω un espacio muestral, sea C la clase de todos eventos y sea P una función definida en C, P:C→[0,1]. Entonces a P se le llama una función de probabilidad y a P(A) se le denomina como la probabilidad del evento A, cuando se cumplen los siguientes axiomas

Axioma 1. Para cualquier evento A en la clase C

P(A)≥0

Axioma 2. Para el evento seguro Ω en la clase C se tiene que

P(Ω)=1

Axioma 3. Para cualquier número de eventos mutuamente excluyentes A_1,A_2,… en la clase C se tiene que

P(A_1∪A_2∪… )=P(A_1 )+P(A_2 )+⋯=∑_(n=1)^∞▒P(A_n )

En particular, para sólo dos eventos mutuamente excluyentes se tiene que

P(A_1∪A_2 )=P(A_1 )+P(A_2 )

Cuando una función P satisface los axiomas anteriores, el espacio muestral Ω suele llamarse un espacio de probabilidad.

El primer axioma establece que la probabilidad de cualquier evento es no negativa y el segundo axioma establece que el evento cierto o seguro tiene probabilidad 1. Utilizando inducción matemática se puede ampliar la propiedad aditiva para dos eventos a cualquier número finito de eventos mutuamente excluyentes, es decir, para cualquier conjunto de eventos mutuamente excluyentes A_1,A_2,…,A_N en la clase C se tiene que

P(A_1∪A_2∪…∪A_N )=P(A_1 )+P(A_2 )+A_N=∑_(n=1)^N▒P(A_n )

Este es el caso cuando se tiene que el espacio muestral Ω es finito. A partir de todas estas condiciones podemos hacer las siguientes observaciones

1) A todo evento A en la clase C le corresponde el otro evento definido por la condición “A no ocurre” el cual consta de todos los puntos muestrales no contenidos en A; tal evento se llama evento complementario de A y se denotara por A^C.

2) Los conjuntos Ω y ∅ son siempre eventos: el evento que siempre ocurre y el evento que nunca ocurre respectivamente

3) Puesto que los eventos son conjuntos, resulta lógico que las proposiciones relativas a eventos puedan traducirse en el lenguaje de la teoría de conjuntos y viceversa. Más específicamente, tenemos que si A y B son dos eventos, entonces existen dos maneras de combinarlos, estas se representan por las letras “o” e “y” y también pueden definirse nuevos eventos a partir de la combinación de este par de reglas. Las combinaciones “o” e “y” pueden definirse mediante los siguientes enunciados probabilísticos.

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