Evidencia De Aprendizaje Geometria2 Unidad 3

GEOMETRIA ANALITICA UNIDAD 3.

Sistemas de coordenadas esféricas y cilíndricas.

Evidencia de aprendizaje

Karla Judith Andrew Méndez

AL12509552

SISTEMAS DE COORDENADAS CILINDRICAS

El sistema de coordenadas cilíndricas utiliza como base el sistema de coordenadas polares en 2D proyectado hacia el espacio usando la coordenada z del sistema de coordenadas cartesianas.

En este sistema, las coordenadas x e y son reemplazadas por un vector dirigido a la proyección del punto sobre el plano XY cuya magnitud es igual a la distancia del punto al eje z, la cual es la primera coordenada del sistema. El ángulo de dirección de dicho vector medido con respecto al semieje x positivo constituye la segunda coordenada del sistema y la tercera coordenada coincide con la coordenada z del sistema cartesiano.

En la Figura, pueden observarse las tres coordenadas asociadas a un punto en el sistema cilíndrico de coordenadas.

En este sistema de coordenadas al igual que en el sistema cartesiano, existen tres vectores directores que permiten indicar la dirección de un vector.

El sistema de coordenadas cilíndricas son usadas para parametrizar los puntos de un espacio euclídeo tridimensional. Este sistema de coordenadas es una generalización del sistema de coordenadas polares plano euclídeo, al que se añade un tercer eje de referencia perpendicular a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada que determina la altura del cilindro.

En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto p del espacio se representa por un trío ordenado (r, ө, z).

1.- (r, ө) son las coordenadas polares de la proyección de p sobre el plano x y.

2.- z es la distancia dirigida de p a (r, ө).

Para pasar de rectangulares a cilíndricas, o viceversa, hay que usar las siguientes formulas de conversión.

Cilíndricas a rectangulares.

X = r cos ө, y = r sen ө, z = z

Retangulares a cilíndricas:

R2 =x2 + y2, tg ө =y/x, z = z.

El punto (0, 0,0) se llama el polo. Además, como la representación de un punto en polares no es única, tampoco lo es en cilíndricas.

1.- Obtenga una ecuación en coordenadas cartesianas para la superficie cuya ecuación se ha expresado en coordenadas cilíndricas, e identifique la superficie: r = 6Sen.

r=6sin⁡(r)

r^2=6rsin

x^2+y^2=6y

x^2+〖(y-3)〗^2=9

Es un cilindro circular recto, cuya sección transversal en el plano xy es la circunferencia con centro (0, 3) y radio 3.

2.- Obtenga una ecuación en coordenadas cilíndricas para la superficie cuya ecuación se ha dado en coordenadas cartesianas, e identifique la superficie: x^2-y^2=z

x^2-y^2=z

r cos⁡θ-r sin⁡θ=z

r^2=rcos⁡θ^2+rsin⁡θ^2

SISTEMA DE COORDENADAS ESFERICAS

En el sistema de coordenadas esféricas se utilizan también tres coordenadas para notar la posición de un punto o un vector en un espacio tridimensional, dos de estas coordenadas son angulares y una de ellas es métrica.

Se utiliza la longitud de un vector (R) que une el origen de coordenadas con punto dado, el ángulo que este vector forma con el semieje z positiva y el ángulo que su proyección sobre el plano XY forma con el semieje X positivo , tal como se muestra en la Figura 8.

Los ángulos y toman los nombres de ángulo polar y ángulo azimutal respectivamente.

En este sistema de coordenadas al igual que en los anteriores, existen tres vectores directores que permiten indicar la dirección de un vector.

Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas se usan en espacios euclídeos tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto.

El sistema de coordenadas esféricas es representado por un trío ordenado: la primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera son ángulos. Es un sistema similar al de longitud-latitud que se suele utilizar para localizar puntos sobre la superficie terrestre.

En el sistema de coordenadas de sistemas esféricas un punto p del espacio viene representado por un trío ordenado (p, ө, ǿ).

1.- p es la distancia de P al origen, p >< 0.

2.- ө es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilíndricas para r> 0.

3.- ǿ es el Angulo entre el semieje z positivo y el segmento recto OP, 0 > ǿ < π.

Nótese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no negativas.

La relación entre las coordenadas rectangulares y las esféricas. Para separar uno a otro deben usarse las formas siguientes:

Esféricas a rectangulares:

X =p sen Ф cos ө, y= p sen Ф sen ө, z = p cos Ф.

Rectangulares a esféricas:

P2= x2 + y2 + z2, tg ө=y/x, Ф= arcos (z/√ x2

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