Ezfuerzos Y Circulo De Mohr

TRANSFORMACIÓN DEL ESFUERZO PLANO

Desde el punto de vista del material, las características propias determinan si es más resistente a las cargas normales o a las cargas cortantes, de aquí nace la importancia de transformar un estado de tensiones general en otro particular que puede ser más desfavorable para un material.

Se considera un trozo plano y un cambio de ejes coordenados rotando el sistema original en un ángulo ð.

El estado de esfuerzos cambia a otro equivalente σx' σy' ðx'y' que deben calcularse en base a los esfuerzos originales. Tomando un trozo de elemento plano se tiene que :

Para poder hacer suma de fuerzas y equilibrar este elemento, es necesario multiplicar cada esfuerzo por el área en la que se aplican para obtener las fuerzas involucradas. Considerando que los esfuerzos incógnitos se aplican en una área `da'. Se tiene que este trozo de cuña tiene un área basal `da cos ð' y un área lateral `da sen ð'

Suma de fuerzas en la dirección x' :

σx' da = σx da cos ð cos ð + σy da sen ð sen ð + ðxy da cos ð sen ð + ðxy sen ð cos ð

σx' = σx sen2ð + σy cos2ð + 2 ðxy cos ð sen ð

σx' = ( σx + σy )/2 + ( σx - σy )/2 (cos 2ð) + ðxy (sen 2ð)

Suma de fuerzas en la dirección y' :

ðx'y' da = σy da cos ð sen ð - ðxy da sen ð sen ð + ðxy cos ð cos ð - σx da sen ð cos ð

ðx'y' = σy cos ð sen ð - ðxy sen2ð + ðxy cos2ð- σx sen ð cos ð

ðx'y' = ðxy (cos 2ð) - ( σx - σy )/2 (sen 2ð)

Con estas expresiones es posible calcular cualquier estado de esfuerzo equivalente a partir de un estado inicial. La siguiente aplicación permite calcular estos valores automáticamente. Compruebe los resultados que se obtienen.

ESFUERZOS PRINCIPALES

Siempre es importante obtener los valores máximos de los esfuerzos tanto los normales como los de corte para compararlos con los valores admisibles del material que se está evaluando.

El esfuerzo normal máximo se deduce derivando σx' con respecto al ángulo ð :

dσx' /dð = 0 = - ( σx - σy ) (sen 2ð) + 2 ðxy (cos 2ð)

tan 2ð = 2 ðxy / ( σx - σy )

La solución de esta ecuación son dos ángulos que valen : ð y ð + 90

Al evaluar usando estos valores para el ángulo ð se obtienen los esfuerzos normales máximo ( σ1) y mínimo (σ2). Es importante destacar que si se iguala ðx'y' = 0 se obtiene la misma expresión que la derivada, esto implica que cuando el elemento se rota para encontrar los esfuerzos principales (σ1 y σ2) se produce que el esfuerzo cortante vale cero.

En definitiva :

σ1 , σ2 = ( σx + σy ) / 2 + / -

El esfuerzo cortante máximo se obtiene de forma similar, derivando la expresión correspondiente con respecto al ángulo ð.

dtx'y' / dð = 0 = -2 ðxy (sen 2ð) - ( σx - σy ) (cos 2ð)

tan 2ð = - ( σx - σy ) / 2 ðxy

Esta expresión nos entrega el ángulo para el cual se producen los esfuerzos cortantes máximos, queda en definitiva :

ð1 y ð2 = + / -

ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMOS

El esfuerzo cortante máximo difiere del esfuerzo cortante mínimo solo en signo, como muestran las formulas explicadas el tema Esfuerzo s Principales. Además, puesto que las dos raíces de la ecuación tan 2ð = - ( σx - σy ) / 2 ðxy

sitúan el plano a 90°, este resultado significa también que son iguales los valores numéricos de los esfuerzos cortantes en planos mutuamente perpendiculares.

En esta deducción, la diferencia de signo de los dos esfuerzos cortantes surgen de la convención para localizar los planos en que actúan estos esfuerzos. Desde el punto de vista físico dichos signos carecen de significado, por esta razón al mayor esfuerzo cortante, independientemente de su signo, se llama esfuerzo cortante máximo.

El sentido definido del esfuerzo cortante siempre se puede determinar por la sustitución directa de la raíz particular de ð en la ecuación

ðx'y' = ðxy (cos 2ð) - ( σx - σy )/2 (sen 2ð)

un esfuerzo cortante positivo indica que este actúa en el sentido supuesto y viceversa. La determinación del esfuerzo cortante máximo es de mayor importancia para materiales de baja resistencia al corte.

A diferencia de los esfuerzos principales cuyos planos no ocurren esfuerzos cortantes, los esfuerzos cortantes máximos actúan en planos que usualmente no están libres de esfuerzos normales. La situación de ð de la ecuación

tan 2ð = - ( σx - σy ) / 2 ðxy

en la

σx' = ( σx + σy )/2 + ( σx - σy )/2 (cos 2ð) + ðxy (sen 2ð)

muestra que los esfuerzos normales que actúan en los planos de los esfuerzos cortantes máximos son

σ* =( σx + σy )/2

por consiguiente, el esfuerzo normal actúa simultáneamente con el esfuerzo cortante máximo a menos que se anule σx + σy.

Si σx y σy de la ecuación ð1 y ð2 = + / -

son esfuerzos principales, ðxy es cero y la ecuación se simplifica

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