FRACTALES

FRACTALES

OBJETIVO

Obtener los parámetros específicos para la intención de un fractal de una figura como también dar a conocer las características y el modo de solución.

INTRODUCCIÓN

¿Qué es un fractal?

Un fractal es un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas. Es decir, por mucho que nos acerquemos o alejemos del objeto, observaremos siempre la misma estructura. De hecho, somos incapaces de afirmar a qué distancia nos encontramos del objeto, ya que siempre lo veremos de la misma forma.

El termino fractal fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. En la naturaleza encontramos muchas estructuras con geometría fractal como, por ejemplo, en el romanescu. La palabra “fractal” proviene del latín fractus, que significa “fragmentado”, “fracturado”, o simplemente “roto” o “quebrado”, muy apropiado para objetos cuya dimensión es fraccionaria. El término fue acuñado por Benoît Mandelbrot en 1977 aparecido en su libro The Fractal Geometry of Nature. Al estudio de los objetos fractales se le conoce, generalmente, como geometría fractal.

Un fractal es un conjunto matemático que puede gozar de auto similitud a cualquier escala, su dimensión no es entera o si es entera no es un entero normal. El hecho que goce de auto similitud significa que el objeto fractal no depende del observador para ser en sí, es decir, si tomamos algunos tipos de fractales podemos comprobar que al hacer un aumento doble el dibujo es exactamente igual a la inicial, si hacemos un aumento 1000 comprobaremos la misma característica, así pues, si hacemos un aumento n, el dibujo resulta igual luego las partes se parecen al todo.

Existen muchísimos fractales, ya que como veremos, son muy fáciles de construir. Los ejemplos más populares son el conjunto “Mandelbrot” o el triángulo “Sierpinski”. Este último se realiza de una forma muy sencilla: dibujamos un triángulo grande, colocamos otros tres triángulos en su interior a partir de sus esquinas, repetimos el último paso. (México)

[pic 1]

Otro sencillo ejemplo lo constituye la alfombra de Sierpinski:

[pic 2]

Como puede verse, la estrategia más sencilla para conseguir un fractal, es coger una figura y reproducirla en versiones más pequeñas. Sin embargo, se pueden conseguir objetos muchos más complejos.

El conjunto de Mandelbrot fue propuesto en los años setenta, pero no fue hasta una década más tarde cuando pudo representarse gráficamente con un ordenador. Este conjunto se define a partir de un número “c” cualquiera, que define la siguiente sucesión:

[pic 3]

Para diferentes valores de “c”, obtenemos diferentes sucesiones. Si la sucesión es acotada, “c” pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido. Por ejemplo, para c=1 se obtiene: 0, 1, 2, 5, 26, 677, etc. (0, 1=02+1, 2=12+1, 5=22+1, etc.) Para c=-0.5 obtenemos 0, -0.5, -0.25, -0.4375, -0.30859375, -0.404769897, etc. De esta forma, c=-0.5 pertenece al conjunto y c=1 no.

Un conjunto u objeto es considerado fractal cuando su tamaño se hace arbitrariamente mayor a medida que la escala del instrumento de medida disminuye.  

Hay muchos objetos ordinarios que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales, aunque no los reconozcamos. Las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos son fractales naturales, aunque finitos ergo no ideales; no, así como los fractales matemáticos que gozan de infinidad y son ideales. (Sánchez)

Algunas definiciones sencillas extraídas de ensayos y libros acerca del tema:

• Modelos infinitos comprimidos de alguna manera en un espacio finito
• Bellísimos y fascinantes diseños de estructura y complejidad infinita.

Resumen de las propiedades de los fractales:

• Dimensión no entera.
  Como se mostrará en el apartado siguiente la dimensión de un fractal no es un número entero sino un número generalmente irracional.
• Compleja estructura a cualquier escala.
  Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la escala a la cual lo observemos.
• Infinitud.
  Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro.
• Auto similitud en algunos casos.
  Existen fractales plenamente auto similares de manera que el todo está formado por pequeños fragmentos parecidos al todo

FRACTALES EN LA NATURALEZA

La naturaleza es matemática por excelencia. Si miramos detenidamente la naturaleza veremos que existe un patrón que pareciera repetirse infinitamente en muchos objetos. Por ejemplo, un árbol tiene un tronco, este se divide en grandes ramas, cada una en ramas más pequeñas y así, hasta llegar a las hojas. A su vez, cada hoja presenta venas, y cada una se divide en venas más pequeñas y figuras geométricas. Existe una variedad de objetos en la naturaleza en la que podemos observar que un mismo patrón se va repitiendo indefinidamente con pequeñas variaciones. (Vicencio)

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