Fractales

Los Fractales

Enviado por PikMonster, mayo 2010 | 7 Páginas (1555 Palabras) | 6 Visitas

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¿Que Son?

Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.1 El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

Una mejor manera para comprender el comportamiento fractal de nuestro universo es considerar la siguiente definición: "Patrones que se repiten a distintas escalas".

A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:

Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.

Posee detalle a cualquier escala de observación.

Es autosimilar (exacta, aproximada o estadística).

Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.

Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

No nos basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.

Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras3 o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los

objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.

Características De Un Fractal

Autosimilitud exacta del copo de nieve de Koch.

Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.

Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:

Autosimilitud exacta: Este es el tipo más restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).

Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproxiadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo.

*Autosimilitud estadística*. Es el tipo más débil de autosimilitud: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.

*El conjunto* de Julia

Estos conjuntos, fruto de los trabajos de Pierre Fatou y Gaston Julia en los años

, surgen como resultado de la aplicación reiterada defunciones holomorfas

Analicemos el caso particular de funciones polinómicas de grado mayor que uno. Al aplicar sucesivas veces una función polinómica es muy posible que el resultado tienda a {draw:frame} . Al conjunto de valores de {draw:frame} que no escapan al infinito mediante esta operación se le denomina conjunto de Julia relleno, y a su frontera, simplemente conjunto de Julia.

Estos conjuntos se representan mediante un algoritmo de tiempo de escape, en que cada pixel se colorea según el número de iteraciones necesarias para escapar. Suele usarse un color especial, a menudo el negro, para representar los puntos que no han escapado tras un número grande y prefijado de iteraciones.

El *conjunto de *Mandelbrot es el más conocido de los conjuntos fractales, y el más estudiado. Se conoce así en honor al científico Benoît Mandelbrot, que investigó sobre él en la década de los setenta del siglo XX.

A menudo se representa el conjunto mediante el algoritmo de tiempo de escape. En ese caso, los colores de los puntos que no pertenecen al conjunto indican la velocidad con la que diverge (tiende al infinito, en módulo) la sucesión correspondiente a dicho punto. En la imagen de ejemplo, observamos el rojo oscuro indica que al cabo de pocos cálculos se sabe que el punto no está en el conjunto mientras que el blanco informa de que se ha tardado mucho más en comprobarlo.

Como no se puede calcular un sinfín de valores, es preciso poner un límite y decidir que si los p primeros términos de la sucesión están acotados entonces se considera que el punto pertenece al conjunto. Al aumentar el valor de p se mejora la precisión de la imagen.

{draw:frame}

Dimensión fractal y dimensión de Hausdorff-Besicovitch

Entre los fractales podemos encontrar ejemplos como curvas que llenan todo el plano. En ese caso, la dimensión topológica de la curva, que es uno, no nos informa sobre la

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