Formulario álgebra lineal

Álgebra lineal

Determinantes:

• Menor: Matriz que se obtiene al retirar una columna y un renglón de una matriz de un orden mayor.

• Cofactor: Determinante de una matriz afectado por un signo, el signo se determinará por la posición de donde se obtiene el menor.

Cálculo de determinante por método de expansión de cofactores.

• Se escoge una linea de la matriz (ya sea columna o renglón), los elementos de esa linea se multiplican por su respectivo cofactor.

• NO SE TE OLVIDEN LOS SIGNOS DE POSICIÓN

Regla de Sarrous

Solo se aplica a matrices 3x3

Propiedades de los determinantes

1. Si cualquier renglón o columna de A es un vector 0, entonces |A| = 0

2. Si A tiene 2 renglones o columnas iguales, entonces |A| = 0

3. Si un renglón (o columna) de A es un múltiplo escalar de otro, entonces |A| = 0

4. Se tienen matrices A y B, idénticas, excepto por una columna (o renglón) J, y la columna (o renglón) J de C, es la suma de esas J-esimas columnas (o renglones) de A y B, entonces |C| = |A|+|B|

5. Propiedad Mi(c): Si el renglón i, o columna j de A se multiplica por un escalar c, entonces |A| se multiplica por c

6. Propiedad Aij(c): Si se suma un múltiplo escalar de un renglón o columna de A a otro renglón o columna, el determinante no cambia

7. Propiedad Pij: El intercambio de cualesquiera dos renglones (o columnas) distintos de A tiene el efecto de multiplicar |A| por -1

Teoremas de los determinantes

• det AB = det A * det B

• A = LU, con A cuadrada, L con unos en la diagonal

|A| = |U| = producto de los elementos de la diagonal de U

• PA=LU, P matriz permutación

• |A’| = |A|

•

Método de la condensación

• Generar una linea e la matriz con puros ceros, pero un escalar, para así poder reducir la matriz a un orden menor

Método de la matriz adjunta

• A-1= (Adj A) / |A|

• Adj A = (cof A)’

Regla de Cramer

• A matriz nxn, |A| diferente de 0, entonces

•

• , , D es el determinante remplazando la columna j a a por el vector columna

Espacios vetoriales

• V={v₁ ,v₂ ,v₃ ,…,vn}

• Un espacio vectorial es un conjunto de vectores finito

• Estos pueden presentarse en forma de vectores, polinomios y matrices.

◦ Vectores.

▪ Un vector en R, R₂ , R₃ , R₄ ,…., Rn

◦ Polinomios. Ejemplos

▪ P₀ =1 se puede representar como P₀ =(1)

▪ P₁ =ax+b se puede representar como P₁ =(b a)

▪ P₁ =x se puede representar como P₁ =(0 1)

▪ P₂ =ax2+bx+c se puede representar como P₂ =(c b a)

▪ P₂ =x2 se puede representar como P₂ =(0 0 1)

▪ P₃ =x3 se puede representar como P₃ =(0 0 0 1)

▪ Generalizando Pn= a₀ +a₁ x₁ +a₂ x₂ +a₃ x₃ +….+a(n-1) x(n-1)+anxn

▪ Pn=(a₀ , a₁ , a₂ , a₃ , …. a(n-1), an)

◦ Matrices

▪ Una matriz de orden 2x2, se puede representar como una matriz 4x1

▪ A={{a,b},{c,d}}=(a b c d)

▪ Una matriz de orden 2x3, se puede representar como una matriz 6x1

▪ A={{a,b,c},{d,e,f}}=(a b c d e f)

• Para que este sea considerado como un espacio vectorial debe cumplir 10 axiomas

• Se tienen 3 vectores x, y y z pertenecientes al espacio vectorial mayor generalizados y escalares a y b

1. x+y pertenece al espacio vectorial mayor Cerradura

2. (x+y)+z=x+(y+z) Asociativa

3. Si 0+x=x+0=x Idéntica aditiva

4. -x+x=x+(-x)=0 Inverso aditivo de x

5. x+y=y+x Conmutativo

6. ax pertenece al espacio vectorial mayor Cerradura

7. a(x+y)=ax+ay

8. (a+b)x=ax+bx

9. a(bx)=(ab)x Asociativa

10. 1x=x

• CONCLUIR LOS RESULTADOS DE CADA AXIOMA

• GENERALIZAR ejemplo: x=(x1, y1, z1) ; y=(x2, y2, z2)

• Espacio vectorial trivial V={0}

• Conjuntos que no son un espacio vectorial V={constante}, V={1}, V={(1,1)}

Subespacio

...