TRABAJO INTEGRALES POR FRACCIONES PARCIALES.

INTRODUCCION

En esta seccion estudiaremos un procedimiento para descomponer funciones racionales de la forma q(x)=f(x)/g(x), de donde q(x) es la funcion y f(x), g(X) son polinomios. Los cuales al ser descompuestos nos quedan como la suma de fracciones parciales mucho mas simples de trabajar  ya que la integracion la realizamos termino a termino, aplicando las reglas basicas de integracion anteriormente vistas.

Guia para la descomposicion en fracciones parciales

1 – si el grado de f(x) no es menor que el de g(x), dividir los polinomios para obtener una expresion apropiada.

2  - expresar g(x) como producto de factores lineales px + q o formas cuadraticas irreducibles a y agrupar los factores repetidos para que g(x) quede expresado como un producto de factores distintos de la forma  con m y n enteros no negativos.[pic 1][pic 2]

REGLA (A);  por cada factor de la forma  con m quedando como la suma de m fracciones parciales de la forma.[pic 3][pic 4]

[pic 5]

REGLA (B); por cada factor  donde , es irreducible, la descomposicion en fracciones parciales contiene una suma de n fracciones parciales de la forma.[pic 6][pic 7]

  ; donde son numeros reales.[pic 8][pic 9]

En esta oportunidad se estudiaran cuatro casos de descomposicion en fracciones parciales, que son las siguientes:

1.-  FACTORES LINEALES DIFERENTES

 [pic 10]

Primero se puede observar que podemos factorizar el denominador convirtiendolo en un trinomio de la forma  [pic 11]

  =    se saco factor cun en el denominador[pic 12][pic 13]

Ahora cada termino del denominador lo dejamos en funcion de suma y agregamos A, B,C,.....etc como numerador

=            [pic 14][pic 15]

SACAMOS EL mcd AL DENOMINADOR Y MULTIPLICAMOS POR CADA TERMINO

  [pic 16]

Cancelamos los denominadores quedando la siguiente igualdad

     [pic 17]

Ahora busco numeros para reemplazar la “x” que me la vuelvan cero ( 0, 2 y -1 )

Reemplazo la x por cero en la igualdad

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

Reemplazo la x por (-1) en la igualdad

[pic 23]

[pic 24]

  [pic 25]

   [pic 26]

reemplazo la x por (2) en la igualdad

 [pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

Ahora con los valores de A,B y C reemplazados; regresamos a la integral descompuesta en fracciones parciales y la evaluamos

  [pic 31]

  [pic 32]

2.- FACTORES LINEALES REPETIDOS

 [pic 33]

Ahora sacamos el mcd del denominador y lo multiplico por cada termino

       [pic 34]

simplificamos los denominadores y nos queda la siguiente  igualdad o ecuacion No.1

  → (1ra Ecuacion)[pic 35]

Ahora busco numeros que al reemplazar por “x” la vuelvan cero  ( 0, -2 y 3 )

Reemplazo la x por cero en la 1ra ecuacion

[pic 36]

      [pic 37][pic 38]

Reemplazo la x por (-2) en la 1ra ecuacion

[pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

Reemplazo la x por (3) en la 1ra ecuacion

  [pic 43]

 [pic 44]

 [pic 45]

  [pic 46]

Reemplazo A y B en la segunda ecuacion

                                                                  [pic 47]

       [pic 48]

 [pic 49]

 [pic 50]

 [pic 51]

 [pic 52]

Ahora si reemplazo A,B y C en la integral para evaluarla

 [pic 53]

 [pic 54]

 [pic 55]

 [pic 56]

FACTORES LINEALES Y CUADRATICOS DIFERENTES

Al usar el metodo de las fracciones parciales con factores lineales, una eleccion conveniente de x proporciona de inmediato un valor para uno de los coeficientes

Directrices para la solucion de una ecuacion con factores cuadraticos

1-se desarrolla la ecuacion basica

2-se agrupan terminos de acuerdo con las potencias de x

3-se igualan los coeficientes de las potencias de igual grado para obtener un sistema de ecuaciones lineales que comprendan a A,B,C, etc

4-se resuelve el sistema de ecuaciones lineales

Ejemplo:

      =     [pic 57][pic 58]

Se factorizo el denominador sacandole factor comun por agrupacion

[pic 59]

=   [pic 60][pic 61]

Descompongo la funcion como la suma de varias funciones parciales

  [pic 62]

Trabajo solo la expresion interna para hallar los valores de A, B Y C y luego

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