Funciones de dos variables Ahora trabajaremos con funciones de la forma: z = f(x,y), con dos variables independientes, x e y, y con una variable dependiente z. El dominio son pares ordenados (x,y) y la imagen son ternas ordenadas (x,y,z).
Enviado por Nicolas Paladino • 24 de Marzo de 2017 • Resúmenes • 1.056 Palabras (5 Páginas) • 296 Visitas
Funciones de dos variables
Hasta ahora hemos trabajado con funciones y = f(x) con 1 variable independiente (x) y la variable dependiente (y).
[pic 1]
Ahora trabajaremos con funciones de la forma: z = f(x,y), con dos variables independientes, x e y, y con una variable dependiente z. El dominio son pares ordenados (x,y) y la imagen son ternas ordenadas (x,y,z).
[pic 2]
En y = f(x) obteníamos el par ordenado (x,y)
En z = f(x,y) obtenemos la terna ordenada (x,y,z)
[pic 3]
[pic 4]
En R2
x2 + y2 = r2 es una circunferencia de radio r
En R3
x2 + y2 +z2 = r2 es una esfera de radio r[pic 5]
En R2
ax +by +c = 0 es una recta
En R3
ax + by + cz + d = 0 es un plano
Al igual que en funciones de una variable, z = f(x,y) será una función si a cada par ordenado del dominio le corresponde solo un valor de la imagen.
[pic 6]
Derivadas parciales
Si z = f(x,y) es una función de dos variables, sus derivadas parciales son las funciones [pic 7] dadas por:
[pic 8] para todo (x,y) cuyo límite exista.
[pic 9] para todo (x,y) cuyo límite exista.
Otras notaciones: [pic 10][pic 11]
Nota:
- Para determinar [pic 12] se mantiene y constante y se deriva f(x,y) con respecto a x.
- Para determinar [pic 13] se mantiene x constante y se deriva f(x,y) con respecto a y.
[pic 14]
Ejemplos:
1- Sea [pic 15]. Hallar [pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
2- Sea [pic 19]. Hallar [pic 20]
[pic 21] [pic 22]
[pic 23] [pic 24]
Derivadas de mayor orden
[pic 25][pic 26]
[pic 27]
derivada segunda de f con respecto a x dos veces
[pic 28]
[pic 29]
derivada segunda de f con respecto a y dos veces
[pic 30]
[pic 31]
derivada segunda de f con respecto a x primero y después con respecto a y [pic 32]
[pic 33]
[pic 34]
derivada segunda de f con respecto a y primero y después con respecto a x
Nota: Si las derivadas cruzadas [pic 35] y [pic 36] son continuas entonces son iguales
Hallemos las derivadas [pic 37], [pic 38], [pic 39] y [pic 40] del ejemplo 1
Teníamos [pic 41] [pic 42]
[pic 43] [pic 44]
[pic 45] [pic 46]
Máximos y mínimos para funciones de dos variable
Definición: Una función z=f(x,y) posee un máximo relativo o local en (x0 y0), si
f (x0 y0) ≥ f(x,y) para todo (x,y) cercano a (x0 y0) ( esto significa para todo (x,y) en algún disco abierto de radio r con centro en (x0 y0)).
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