Funciones y Coordenadas cartesianas

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Defensa

Universidad Nacional Experimental Politécnica

De la Fuerza Armada Nacional Bolivariana

Materia: Matemática

Semestre: C. I. N. U.

Funciones y sistema de coordenadas cartesianas

Trevord Belmont

Prof.: Carrie Fernandez C. I. 12.345.678

Caracas, 12 de enero de 3215

Conjunto

Un conjunto es una colección de objetos no repetidos que se llaman elementos, Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Si X es un elemento de un conjunto A, entonces se escribe X ∈ A y se lee “X pertenece a A” o “X está en A” o “A contiene a X”. En caso contrario se escribe

Un subconjunto es la parte de un conjunto. Por ejemplo:

B es un subconjunto de A pues está contenido en A. Se puede escribir en un lenguaje matemático de la siguiente manera: B ⊂ A.

Operaciones con conjuntos

Las principales operaciones con conjuntos son la unión, la intersección y la complementación.

La unión de dos conjuntos A y B se designa con A U B, se lee A unión B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B; o a A y a B a la vez.

⦁ La intersección de dos conjuntos A y B, se designa con A ∩ B, se lee A intersección B, es el conjunto de todos los elementos comunes a A y a B.

El complemento de un conjunto A, con respecto al universal U, se designa con A’ es el conjunto de todos los puntos de U que no están en A.

Par ordenado

Un par ordenado es un conjunto formado por dos elementos colocados en un orden. Se representa colocando los dos elementos entre paréntesis separados por una coma. Por ejemplo, (1, 2) representa al par ordenado cuyos elementos son 1 y 2 en ese orden. Los pares ordenados (1, 2) y (2, 1) son distintos, a pesar de tener los mismos elementos, ya que el orden es distinto.

En un par ordenado los elementos se llaman componentes o coordenadas. El elemento “a” es la primera componente del par ordenado (a,b) y b es su segunda componente.

Función

Una función f es una correspondencia entre conjuntos que cumple con dos condiciones:

⦁ Todos los elementos del conjunto de partida están relacionados.

⦁ Cada elemento del conjunto de partida sólo tiene relación con un elemento del conjunto de llegada.

En el lenguaje matemático la frase: “f es una función del conjunto A en el conjunto B” se escribe de la siguiente manera: f: A → B

El conjunto de partida se denomina dominio y se denota mediante Dom f. Cada uno de los elementos del conjunto de llegada que están relacionados se denomina imágenes. El rango es el conjunto formado sólo por aquellos elementos del codominio que son imágenes y se denota Rg f. El rango es un subconjunto del codominio.

Como una función es una relación, se puede describir mediante una gráfica llamada diagrama sagital o en forma de par ordenado. Ejemplo:

f: A → B =

Dom f = y Rg f =

Evaluación de una función

Se llama evaluación de una función en un punto (x), al cálculo de la variable (y) para un valor determinado de (x). Ejemplo:

Evaluar la ecuación en el punto (x=2).

Sustituyendo el punto en la ecuación, quedará:

Variable dependiente e independiente

Existe la notación y = f(x), la cual expresa que “y” es la imagen del elemento “x” del dominio de la función f. La letra “x” se llama la variante independiente y la letra “y” se llama la variante dependiente.

Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

Una función f: A→B es inyectiva si todos los elementos del dominio tienen imágenes distintas, es decir, cuando todo elemento de B que es imagen de un elemento de A lo es de un solo elemento. Ejemplo,

En la función f, las imágenes de cada uno de los elementos del dominio son distintas, mientras que en la función g las imágenes g(c) y g(d) coinciden. Entonces la función f es inyectiva.

En la función f, el elemento 1 de B no está relacionado, es decir, no es imagen de ningún elemento de A, mientras que en la función g cada elemento de B está relacionado por lo menos con un elemento de A, es decir, en la función g el rango es igual al conjunto B, entonces esta función es sobreyectiva.

Una función f: A→B es sobreyectiva si todos los elementos del conjunto de llegada están relacionados, es decir, si el rango de la función es igual al conjunto B.

En la función h, se observa que es inyectiva porque cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A. Esta función también es sobreyectiva porque el rango de la función es igual al conjunto B. Entonces, como la función es inyectiva y sobreyectiva es biyectiva.

Una función f: A→B es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Función inversa

Si f es una función que tiene por dominio al conjunto A y por rango al conjunto B, entonces se llama la función inversa de f, aquella que tiene por dominio el conjunto B y por rango

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