Fundamentos De La Matemática

ISFD Nº 29

PROFESORADO DE MATEMATICA

FUNDAMENTOS DE LA MATEMATICA

TRABAJO PRACTICO Nº 1

CARACTERISTICAS DE LA MATEMÀTICA

La Matemática como ciencia posee un objeto de estudio que tiene la característica de no ser un reflejo directo de la realidad objetiva, ya que dicho objeto tiene un carácter abstracto, de ahí que para investigar desde el punto de vista matemático cualquier objeto o fenómeno, es necesario abstraerse de todas sus cualidades particulares, excepto de aquellas que caracterizan directamente la cantidad o la forma, ya que, aceptamos por el objeto de estudio de la matemática, las relaciones cuantitativas y las formas espaciales del mundo real.

La matemática es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entidades abstractas con números, figuras geométricas o símbolos, pese a que también es discutido su carácter científico. La matemática se emplea para estudiar relaciones cuantitativas, estructuras, relaciones geométricas y las magnitudes variables. Los matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin. Algunas definiciones clásicas restringen la matemática al razonamiento sobre cantidades, aunque solo una parte de la matemática actual usa números, predominando el análisis lógico de construcciones abstractas no cuantitativas.

¿MATEMATICAS O MATEMATICA?

Uno de los argumentos de Babini para expresar el término matemática en forma singular es una analogía con otras ciencias. Decimos física, química, biología y no físicas, químicas, biologías.

Además argumenta que a pesar de tener varias ramas (álgebra, geometría, cálculo) se trata de una sola ciencia y no alberga ramas de la física como se creía siglos atrás y esto quedó demostrado con el descubrimiento de las geometrías no euclidianas. Este descubrimiento dio lugar a una revisión de los conceptos fundamentales de la matemática, de la que surgió que la matemática es una ciencia única con métodos y finalidad propios.

MATEMÀTICA EN LA GRECIA ANTIGUA

La matemática griega fue mucho más sofisticada que la matemática que habían desarrollado las culturas anteriores. Todos los registros supervivientes de la matemática pre-griegas muestran el uso del razonamiento inductivo, es decir, repetidas observaciones son utilizadas para establecer "reglas de cajón" (sin rigor estricto). Los matemáticos griegos, por el contrario, utilizan el razonamiento deductivo. Los griegos usan la lógica para obtener conclusiones a partir de definiciones y axiomas.

La matemática griega se cree que comenzó con Tales (c. 624-c.546 a.C.) y Pitágoras (c. 582-c. 507 a.C.). Si bien el alcance de la influencia es objeto de controversia, probablemente fueron inspirados por las ideas de Egipto, Mesopotamia y quizá la India. Según la leyenda, Pitágoras viajó a Egipto para aprender la matemática, la geometría, la astronomía de los sacerdotes egipcios.

Los babilonios y egipcios desarrollaron una geometría totalmente vinculada a problemas de agrimensura, arquitectura, medición de alturas y distancias. Entre los siglos IV y III a. C. los griegos toman la geometría de los egipcios y de los pueblos de la Mesopotamia y la rehacen en forma de ciencia deductiva.

Hacia el año 400 a. C. florece la Escuela Pitagórica cuyos integrantes cultivaron la matemática como disciplina abstracta. Les interesa fundamentalmente la idea de número como realidad física y lo asocian a una figura.

LA CONCEPCIÒN ARISTOTELICA DE LAS CIENCIAS.

La concepción de ciencia de Aristóteles, que proporcionó un modelo de la manera como sería entendida la ciencia durante siglos, era concebir la ciencia como un tipo de conocimiento demostrativo expresado en teorías.

Las teorías científicas debían tener un formato deductivo que siguiera el modelo de las ciencias formales, en la cual algunas afirmaciones fungieran como principios a partir de los cuales luego se obtendrían consecuencias.

Esto se contrapone, en gran medida, a la concepción moderna de ciencia que otorga un lugar preponderante a la contrastación de las afirmaciones recurriendo a la observación y el experimento, en tanto que para la visión aristotélica, precisamente por su carácter demostrativo, el conocimiento resultaba de la aplicación de las capacidades intelectuales.

El arquetipo de esta visión lo constituye la geometría tal como fuera recopilada y editada por Euclides de Alejandría en su libro Elementos.

Para Aristóteles toda ciencia se ocupa de un determinado género de objetos, esto significa que el lenguaje es un medio que opera como representación de la realidad (realismo aristotélico).

Además, cada ciencia particular tiene su propio género de objetos, de modo que dado un cierto género de objetos sólo una disciplina se ocupa de él.

EUCLIDES

Euclides (300 a. C) hizo la primera recopilación de los conocimientos geométricos de la época. Postuló que la geometría podía organizarse y establecerse mediante el razonamiento lógico.

La Geometría Euclidiana (o Plana), como su nombre lo indica se le debe a Euclides (300 a.C). El Libro I de los Elementos de Euclides, recoge los conocimientos de Geometría Plana de la época en 48 Proposiciones, las cuales se deducen lógicamente de un conjunto de 23 definiciones, 5 axiomas y 5 postulados. Se dice que éste es el primer tratado de la Matemática pura. El método axiomático y deductivo empleado por Euclides es el preferido por la mayoría de los matemáticos de hoy en día, pues garantiza la solidez relativa de la teoría que lo utilice.

Postulados de la geometría euclidiana:

1 Una recta puede trazarse desde un punto cualquiera hasta otro,

2 Una recta finita puede prolongarse continuamente y hacerse una recta ilimitada o indefinida.

3 Una circunferencia puede describirse con un centro y una distancia.

4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

5 Si una recta que corte a otras dos, forma con éstas ángulos interiores del mismo lado de ella que sumados sean menores que dos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortarán del lado en que dicha suma sea menor que dos rectos.

El quinto postulado difiere de los otros postulados por su especial complejidad. Esta característica llamó la atención de los matemáticos desde el principio, pues lo colocaba más cerca de las proposiciones que de los postulados. El mismo Euclides lo sabía y lo introdujo solamente después de la Proposición 28; quizás esperando poder deducirlo lógicamente de los otros postulados. Lo introduce justo en el momento en el cual ya le era inevitable tener que usarlo.

INTENTOS DE DEMOSTRACION DEL QUINTO POSTULADO.

El intento de Wolfgang Bolyai

Dado un punto P no perteneciente a una recta “l” se traza una paralela l’ que pasa por P (mediante el procedimiento habitual, trazando una perpendicular PQ a l, luego trazando una perpendicular a PQ) Considerar una recta cualquiera l” que pasa por P y es distinta a l’.

l” corta a l, se toma el punto A de PQ entre P y Q. Se prolonga PQ hasta el punto B de modo que AQ=QB. Por el punto A se traza una perpendicular a l” que la corta en el punto R. Se prolonga AR hasta el punto C de modo que AR= RC.

Luego A B y C son puntos no alineados, entonces por ellos pasa una única circunferencia.

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