GUIA DE ESTADISTICA, PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

En nuestro diario vivir usamos la palabra combinación sin pensar si el orden de las cosas es importante. Por ejemplo:

“Una ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas”, no nos importa en qué orden se pusieron las frutas, podría ser: bananas, uvas y manzanas, o, uvas, manzanas y bananas. Para nosotros es la misma ensalada.

La combinación de la cerradura es 472. Ahora si importa el orden, pues 724 no funcionaría como tampoco 247, obligatoriamente es 472

Matemáticamente usaremos un lenguaje más preciso: Si el orden no importa se denomina COMBINACION. Si el orden si importa se denomina PERMUTACION.

Así en el ejemplo de la ensalada de frutas es una combinación y en el de la cerradura es permutación. Lo cual podemos concluir que UNA PERMUTACION ES UNA COMBINACION ORDENADA

Hay dos tipos de permutaciones:

Se permite repetir: como el ejemplo de la cerradura, podría ser 333

Sin repeticiones: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puede quedar primero y segundo a la vez.

PERMUTACIONES CON REPETICION

Son las más fáciles de calcular. Si tiene n cosas para elegir y elige r de ellas, las permutaciones posibles son: nxnxnx ….(r veces) = nr

(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)

Por ejemplo en la cerradura, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y al elegir 3 de ellos: 10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones

Entonces la fórmula para permutaciones con repetición es nr donde n es el número de cosas que puede elegir, y r es la cantidad de cosas que elige. Donde se puede repetir, pero el orden importa.

PERMUTACIONES SIN REPETICION

En este caso, se reduce el número de opciones en cada caso. Por ejemplo, como se podría ordenar 16 bolas de billar? Si escogemos la “13” ya no la podemos elegir nuevamente, Así que la primera elección tiene 16 posibilidades, en la segunda solo tiene 15, en la tercera 14, en la cuarta 13 y así sucesivamente. Por lo tanto el total de permutaciones sería: 16x15x14x13x…. = 20.992.789.888.000

Pero si solamente queremos escoger 3 de ellas, entonces quedaría 16x15x14 = 3360, es decir hay 3360 formas o maneras distintas de elegir 3 bolas de billar de un total de 16.

Para poder describir matemáticamente se debe usar la función factorial

El símbolo ! significa que se multiplican números descendentes, ejemplo:

4! = 4x3x2x1 = 24 7! = 7x6x5x4x3x2x1 = 5040 0! = 1! = 1

En el ejemplo de las bolas de billar, las permutaciones serían: 16! = 20.922.789.888.000, al escogerlas todas

Pero si sólo se quiere elegir 3, se debe dejar de multiplicar después de 14. Entonces nos quedaría de la siguiente manera:

16!/13! = 16x15x14 = 3360, pero como se saca el 13!, 16 que son el total de bolas se le quita el número que se van a sacar y la fórmula quedaría

Donde n es el número de cosas que puede elegir, r el número de cosas que elige (no se pueden repetir, el orden importa). nPr se lee permutaciones de r elementos tomados de n x n.

En el ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16 sería:

EJERCICIOS:

1. De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?

2. Se tienen los siguientes números naturales 1, 2, 3, 4 y se quiere tomar cifras de 4 dígitos.

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