Geometria Proyectica
Enviado por mdlacs • 2 de Julio de 2012 • 2.323 Palabras (10 Páginas) • 433 Visitas
Ernesto Girondo. Versi´on del 10-02-09. Puede contener erratas
Parte III
Geometr´ıa proyectiva
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Como ya sabemos existen distintas geometr´ıas, seg´un las estructuras que se
estudian. As´ı, la geometr´ıa af´ın est´a asociada a la estructura de espacio af´ın. El
grupo de transformaciones relevante en la geometr´ıa af´ın son las afinidades (conservan
la estructura de espacio af´ın). Las propiedades afines son aquellas conservadas
por las afinidades (colinealidad, paralelismo, forma -pero no medida-).
La geometr´ıa eucl´ıdea es la asociada a la estructura de espacio af´ın eucl´ıdeo.
Las transformaciones relevantes son las isometr´ıas, y los conceptos t´ıpicamente
eucl´ıdeos son el de distancia y ortogonalidad.
Todos los conceptos afines son tambi´en eucl´ıdeos, pero no a la inversa. Del
mismo modo, todas las aplicaciones que conservan la estructura eucl´ıdea (las
isometr´ıas) son afinidades (que conservan la estructura af´ın), aunque no toda
afinidad es una isometr´ıa. Es decir, que en ese sentido la geometr´ıa af´ın es m´as
general que la eucl´ıdea.
La geometr´ıa proyectiva es, en esta l´ınea, m´as general que las otras dos.
As´ı que los conceptos propios de esta geometr´ıa ser´an muy pocos, y todos los
resultados que se obtengan ser´an de alg´un modo ciertos en geometr´ıa af´ın o
eucl´ıdea.
Como veremos, en geometr´ıa proyectiva no s´olo no hay noci´on de distancia
(como en la eucl´ıdea), sino que tampoco hay noci´on de paralelismo (como en la
af´ın). S´olo la colinealidad y la incidencia son t´ıpicamente proyectivos.
Isometrias
Transformaciones
proyectivas
Afinidades
La geometr´ıa proyectiva es aquella que trata las propiedades que se conservan
bajo proyecciones. Tiene aplicaciones en visi´on artificial, funcionamiento
de c´amaras, reconstrucci´on de im´agenes bidimensionales en tres dimensiones,
etc. . .Es la geometr´ıa asociada al modo en que el ojo humano percibe el mundo.
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Cap´ıtulo 5
El espacio proyectivo
5.1. La noci´on de espacio proyectivo
5.1.1 La geometr´ıa proyectiva surgi´o a partir de los artistas renacentistas,
que observaron que ten´ıan que comprender c´omo se pueden representar escenas
tridimensionales en lienzos, que son bidimensionales (Durero, S. XVI, estudios
de perspectiva).
Lo que el ojo ve son los rayos de luz que se reflejan en cada punto de la
escena y le llegan desde ellos.
· ·
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Figura 5.1: La geometr´ıa proyectiva est´a conectada con nuestra forma de ver el
mundo.
De modo que lo que pinta el artista es el resultado de “‘proyectar”la escena
sobre un plano (el lienzo) situado entre la escena y el ojo, usando como centro
de proyecci´on el ojo (lo mismo ocurre con una c´amara).
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142 CAP´ITULO 5. EL ESPACIO PROYECTIVO
5.1.2 ¿C´omo formalizar la situaci´on descrita? El modelo es el siguiente:
Supongamos que el ojo es el origen de R3, de modo que los rayos de luz que
llegan a ´el son rectas que pasan por el origen. Supongamos que estamos mirando
un paisaje plano π, como el de la figura 5.2 (la v´ıa de un tren):
p
p
p
L
Figura 5.2: Las v´ıas de un tren parecen cortarse en un punto en el infinito.
Los objetos que viven en π quedan representados en el lienzo π′ por medio
del punto de corte de la recta correspondiente con π′.
Dos rectas paralelas, perpendiculares a L = π∩π′ (o sus representaciones en
π′), parecen cortarse en cierto punto p que no corresponde a ning´un punto de π.
En los trabajos de perspectiva se llama a un punto como este punto evanescente,
y es algo as´ı como un “punto en el infinito”(en el horizonte), que nuestro ojo
a˜nade a π por su forma de percibir la realidad. Obviamente todos los puntos de
la recta paralela a L que pasa por p son de este tipo (linea del horizonte).
Por
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