LA HIPÉRBOLA

LA HIPÉRBOLA.

111.- Pasar a la forma general [(Ax2+By2+Cx+Dy+E=0)] la ecuación ordinaria , correspondiente a una hipérbola.

Eliminemos los denominadores y desarrollemos los cuadrados:

4(x-2)2-9(y+3)2=36

4(x2-4x+4)-9(y2+6y+9)=36

4x2-16x+16-9y2-54y-81=36

4x2-9y2-16x-54y-101=0

SOLUCION:

La ecuación de la forma general queda:

4x2-9y2-16x-54y-101=0

112.- Pasar a la forma general [(Ax2+By2+Cx+Dy+E=0)] la ecuación ordinaria , correspondiente a una hipérbola.

Eliminemos los denominadores y desarrollemos los cuadrados:

9(y-2)2-4(x+3)2=36

9(y2-4y+4)-4(x2+6x+9)=36

9x2-36y+36-4x2-24y-36=36

4x2-9y2+24x+36y+36=0

SOLUCION:

La ecuación de la forma general queda:

4x2-9y2+24x+36y+36=0

113.- Pasar a la forma canónica , la ecuación general 9x2-4y2-36x+8y-4=0, correspondiente a una hipérbola.

Agrupamos términos comunes:

(9x2-36x)+(-4y2+8y)=4

Completamos los cuadrados, factorizando primero el coeficiente de 9 para x –4 para y:

9(x2-4x)-4(y2-2y)=4

9(x2-4x+(-4/2)2)-4(y2-2y+(-2/2)2)=4+9(-4/2)2-4(-2/2)2

9(x-2)2-4(y-1)2=4+36-4

36.

37. 36

SOLUCION:

La ecuación de la forma canónica queda:

114.- Pasar a la forma canónica , la ecuación general -25x2+16y2+50x-64y-361=0, correspondiente a una hipérbola.

Agrupamos términos comunes:

(-25x2+50x)+(16y2-64y)=361

Completamos los cuadrados, factorizando primero el coeficiente de -25 para x 16 para y:

-25(x2+2x)+16(y2-4y)=361

-25(x2+2x+(2/2)2)+16(y2-4y+(-4/2)2)=361-25(2/2)2+16(-4/2)2

-25(x-2)2+16(y-1)2=400

• • 400 400

SOLUCION:

La ecuación de la forma canónica queda:

115.- Escribir una ecuación de la hipérbola que tiene su centro en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas, uno de sus vértices en V(-3,0) y uno de sus focos en F(5,0).

C(0,0) Centro en el origen del sistema de coordenadas

V(-3,0) Vértice

F(5,0) Foco

Entonces como su centro es en el origen deducimos o sabemos que el otro vértice está en las coordenadas:

V’(3,0)

Y el otro foco está en las coordenadas:

F’(-5,0)

La ecuación es de la forma porque el eje focal está en el eje X, entonces:

Distancia entre vértices  2a=6  a=3

Distancia entre focos  2c=10  c=5

Sabemos que c2=a2+b2 entonces:

52=32+b2  25=9+b2  b2=25-9  b2=16  b=4

Sustituyendo en la forma canónica tenemos la ecuación:

SOLUCION:

La ecuación de la hipérbola de la forma canónica es:

y de la forma general queda:

16x2-9y2-144=0

116.- Escribir una ecuación de la hipérbola que tiene su centro en el punto C(-3,2), uno de sus focos en F(-3,6) y uno de sus vértices en V(-3,-1).

C(-3,2) Centro fuera del origen del sistema de coordenadas C(h,k)

F(-3,6) Foco

V(-3,-1) Vértice

El eje focal es paralelo al eje de las ordenadas (EJE Y) entonces por eso sabemos que la forma canónica de la ecuación es:

La distancia del vértice al Centro es a, entonces:

2-(-1)=3  a=3

La distancia del foco al Centro es c, entonces:

6-2=4  c=4

Para encontrar b usemos la ecuación:

c2=a2+b2

42=32+b2

b2=16-9

b2=7

Sustituimos a2 b2 h=-3 y k=2 en la forma canónica de la hipérbola escrita anteriormente:

SOLUCION:

La ecuación de la hipérbola de la forma canónica queda:

y de la forma general queda:

9x2-7y2+54x+28y+116=0

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