La Hiperbola

LA HIPERBOLA

Es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a los puntos fijos F (c, 0) y F1(−c, 0) es constante e igual a 2c.

En donde la ecuación de la hipérbole está dada por x^2/a^2 − y^2/( b^2 ) = 1

Si los focos fueran (0, c) y (0, −c) la ecuación toma la forma y^2/a^2 − x^2/( b^2 ) = 1

La expresión general de la ecuación de la hi2perbola de centro en el origen y cuyos focos estén sobre los ejes de coordenadas es Ax^2 〖 –By〗^2=±1 correspondiendo el signo (más) cuando los focos pertenezcan al eje x.

Como la ecuación solo contiene potencias pares de x e y respecto al origen. El eje real o transversal de la hipérbola es AA1 de longitud igual a 2a, el eje imaginario es BB1 de longitud 2b.

La excentricidad es e = c/( a) = √(a^2+b^2 )/( a) , como e >1 lo cual coincide con la definición general de sección cónica. Las ecuaciones de las directrices DD1 son x =± a/e cuando los focos están sobre el eje x, e y =± a/e cuando los focos están sobre el eje y.

Los vértices reales de la hipérbola so los puntos en la que la curva corta al eje real. Los otros vértices son imaginarios. El latus rectum está dado por (2b^2)/a

Las ecuaciones de las asíntotas son y =± b/a x cuando el eje real o transversal es el eje x, y cuando el eje real o transversal está sobre el eje y entonces la ecuación de la asíntota es y =± a/b x

Si el centro de la hipérbola es el punto de coordenadas (h, k) y ele eje real es paralelo al eje x , la ecuación de la hipérbola es (x-h)^2/a^2 − (y-k)^2/( b^2 ) = 1 y la ecuación de la asíntota es y – k = ± b/a(x-h)

Si el eje real es paralelo al eje de coordenadas y entonces la ecuación de la hipérbola toma la forma : (y-k)^2/a^2 − (x-h)^2/( b^2 ) = 1 y la ecuación de la asíntota es y – k = ± a/b(x-h)

La forma general de la ecuación de la hipérbola de ejes paralelos x e y es Ax2 − By2 + Dx + Ey + F = 0 siendo A y B del mismo signo.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS.

Hallar la ecuación de la hipérbola de centro el origen, eje real sobre ele de coordenadas y y que pase por los puntos (4,6) y (1, −3).

Como el eje real es el de coordenadas y establecemos que y^2/a^2 − x^2/( b^2 ) = 1 y al remplazar P1 y P2 respectivamente en esta ecuación obtenemos lo siguiente:

36/a^2 − 16/( b^2 ) = 1 y 9/a^2 − 1/( b^2 ) = 1 en donde nos queda dos ecuaciones con dos incognitas que luego de resolverlas nos da como resultado a2 = 36/5 y b2 = 4 para así tener la siguiente respuesta

〖5y〗^2/36

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