La Hiperbola

Introducción

En el presente trabajo de investigación que realizamos podemos dar a conocer sobre la ecuación de la hipérbola para poder resolver problemas cotidianos, en donde informaremos una definición de manera adecuada; encontraremos algunas clasificaciones, procedimientos y reglas para utilizar en el campo de la construcción, también analizaremos sobre el estudio de la ecuación hiperbólica.

Esperamos que dicha investigación nos ayude a examinar e intuir mejor en el tema donde emanaremos a comunicar a orientar lo adquirido

La Hipérbola

La hipérbola, se origina al cortar el cono con un plano que no pase por el vértice y cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono es menor que el de la generatriz del cono.

La Hipérbola como lugar geométrico:

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Elementos de la Hipérbola

En toda Hipérbola conviene considerar:

Y: Es el eje secundario de la hipérbola y es la mediatriz del eje focal.

X: Es el eje focal de la hipérbola.

F y F´: Son los focos de la hipérbola.

A y A´: Son los vértices de la hipérbola.

O: Es el centro de la hipérbola.

P: Es un punto de la hipérbola.

PF y PF´: Son los radios vectores de la hipérbola.

Ecuación de la hipérbola con centro en el origen de los ejes coordenados.

Consideramos la hipérbola con centro en el origen O y cuyo eje focal coincide con el eje x. Los focos estarán, por lo tanto, sobre el eje x.

Como o es el punto medio entre los focos, las coordenadas de ellos serán: F_1(-c, 0), con c una constante positiva.

Las coordenadas de los vértices serán: V_1 (-a,0) y V_2 (a,0).

2a: longitud del eje transverso.

2b: longitud del eje conjugado.

2c: distancia entre los focos.

Sea P (x, y) un punto cualquiera sobre la hipérbola.

Basándonos en la definición de hipérbola y haciendo la diferencia de las distancias de P a los focos igual 2a podemos escribir que:

d(PF_2 )-d(PF_1 )=±2a Dónde:

a>0 Y 2a<2c

La diferencia 2a será positiva si P está en la rama de la izquierda de la hipérbola y negativa si P está ubicado en la rama de la derecha.

Aplicando la ecuación de la distancia entre dos puntos podemos escribir:

√((x+c)^2+y^2 )-√((x-c)^2+y^2 )=±2a

Si transponemos el radical sustraendo nos queda:

√((x+c)^2+y^2 )=±2a+√((x-c)^2+y^2 )

Debemos resolver la ecuación irracional elevando al cuadrado los dos miembros, quedándonos:

(x+c)^2+y^2=4a^2+4a√((x-c)^2+y^2 )+(x-c)^2+y^2

Desarrollando y simplificando:

x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2+4a√((x-c)^2+y^2 )+x^2-2xc+c^2+y^2

4cx-4a^2=4a√((x-c)^2+y^2 )

Tomando factor común 4 en el primer miembro se tiene que:

4(cx-a^2 )=4a√((x-c)^2+y^2 )

Si dividimos ambos miembros por 4:

(cx-a^2 )=a√((x-c)^2+y^2 )

Elevando, nuevamente, ambos miembros al cuadrado:

(cx-a^2 )^2=a^2 [(x-c)^2+┤ ├ y^2 ]┤

Si desarrollamos la expresión anterior se tiene que:

c^2 x^2-2a^2 cx+a^4=a^2 (x^2-2cx+c^2+y^2)

c^2 x^2-2a^2 cx+a^4=a^2 x^2-2a^2 cx+a^2 c^2+a^2 y^2

Al simplificar nos queda:

c^2 x^2 〖+a〗^4=a^2 x^2+a^2 c^2+a^2 y^2

Agrupando:

c^2 x^2-a^2 x^2-a^2 y^2=-a^4+a^2 c^2

Factorizando:

x^2 (c^2-a^2 )-a^2 y^2=a^2 (c^2-a^2 )……(1)

Como c>a c^2>a^2 c^2-a^2>0

Si la expresión c^2-a^2 la representamos por b^2, el cuál siempre es positivo, nos queda que b^2=c^2-a^2

Reemplazando en la expresión (I) el valor de b^2 obtenemos:

x^2 b^2-a^2 y^2=a^2 b^2

Dividiendo cada miembro entre a^2 b^2 nos queda:

x^2/a^2 -y^2/b^2 =1

Ésta es la ecuación de la hipérbola en su forma canónica, con centro en el origen y el eje focal paralelo al eje x.

De igual forma es posible obtener la ecuación siguiente:

y^2/a^2 -x^2/b^2 =1

Ésta es la ecuación de la hipérbola en su forma canónica, con centro en el origen y el eje focal paralelo al eje y.

Si el eje focal es paralelo al eje x, entonces x^2 y su divisor están precedidos del signo más (+).

Si el eje focal es paralelo al eje y, entonces y^2 y su divisor están precedidos del signo más (+).

Ejercicio #1

Los vértices de una hipérbola son los puntos V_1 (-4,0) y V_2 (4,0) y sus focos vienen dados por los puntos F_1 (-5,0) Y F_2 (5,0). Escribir la ecuación de la hipérbola

Solución.

De acuerdo a las coordenadas de los vértices y de los focos nos damos cuenta que la hipérbola tiene su eje focal sobre el eje x. De acuerdo a esto la ecuación deber ser de la forma: x^2/a^2 -y^2/b^2 =1

Como el vértice V_2 (4,0) y F_2 (5,0) se deduce que a=4 y c=5

Como c^2=a^2+b^2

b^2=25-16 b^2=9 b=3

Y a=4 c=5

Podemos escribir la ecuación pedida de la hipérbola así:

x^2/16-y^2/9=1

Lado recto de una hipérbola

Hemos definido al lado recto de la hipérbola como la cuerda que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal. Cuando lo medimos obtenemos el ancho focal de dicha curva.

Determinemos la ecuación que nos permita determinar el ancho focal.

Partimos de la ecuación de la hipérbola en su forma canónica

x^2/a^2 -y^2/b^2 =1

En ella hagamos x=c, obteniéndose c^2/a^2 -y^2/b^2 =1

Si despejamos y nos queda que: -y^2/b^2 =1-c^2/b^2

Multiplicando por -1 se tiene que: y^2/b^2 =c^2/a^2 -1

y^2=b^2 ((c^2-a^2)/a^2 )

y=±√((b^2 (c^2-a^2 ))/a^2 )

y=±b/a √(c^2-a^2 )

Si usamos la relación b^2=c^2-a^2 nos quedará la expresión así:

y=±b/a √(b^2 ) y=±b^2/a

Como el ancho focal es el doble se tendrá que él lado recto es y=±(2b^2)/a Como es una magnitud escribiremos que:

y=|〖2b〗^2/a| Para calcular la longitud del lado recto de la hipérbola

Ejercicio #2

Continuando con el ejercicio anterior, datos de los cuales son: V_1 (-4,0) y V_2 (4,0); F_1 (-5,0) Y F_2 (5,0). Calcularemos la longitud del lado recto de la hipérbola.

La fórmula del lado recto es:

y=|〖2b〗^2/a|

Sustituyendo los valores nos quedaría que:

2.9/5= 18/5

Entonces la longitud del lado recto de la hipérbola es:

y=18/5

Excentricidad de la hipérbola

La expresión que relaciona a los valores de c y a, es llamada excentricidad de la hipérbola.

e=c/a Ésta es la relación para calcular la excentricidad.

Ejercicio #3

Ahora calcularemos la excentricidad con los mismos datos del ejercicio #1.

Sabemos que la fórmula para calcular la excentricidad es:

e=c/a

Conociendo los valores del ejercicio #1 c=5 y a=4

Sustituyendo los valores nos quedaría que la excentricidad es:

c/a=5/4

Asíntotas de la hipérbola

Se llama asíntota de una curva a toda recta, tal que su distancia a dicha curva tiende a cero a medida que la curva se aleja indefinidamente del origen

Ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola

La hipérbola definida a través de las ecuaciones estudiadas no posee asíntotas verticales ni horizontales, pero estudiaremos que tiene dos asíntotas oblicuas. Éstas no serán más que rectas con pendiente positiva y negativa.

Veamos:

Con eje focal paralelo al eje x:

Si la ecuación de la hipérbola x^2/a^2 –y^2/b^2 = 1, donde el eje focal coincide con el eje x, intentamos despejar y nos queda:

b^2 x^2-a^2 y^2=a^2 b^2

Factorizando el primer miembro como una diferencia de cuadrados e igualando a cero tenemos que:

by+ax=0 y=-a/b x

(bx+ay)(bx-ay)=0

by-ax=0 y=a/b x

Con eje focal paralelo al eje y

Si en la ecuación de la hipérbola y^2/a^3 -x^2/b^2 =1 , donde el eje focal coincide con el eje y, eliminamos denominadores nos queda que:

b^2 y^2-a^2 x^2=a^2 b^2

Factorizando el primer miembro como una diferencia de cuadrados e igualando a cero tenemos que:

by+ax=0 y=-a/b x

(by+ax)(by-ax)=0

by-ax=0 y= a/b x

Es importante hacer notar que los vértices y las asíntotas son las únicas guías necesarias para trazar una hipérbola.

Ejercicio #4

Tomaremos nuevamente el ejercicio #3 recordando los valores ya encontrados a=4 y b=3, para calcular las ecuaciones de las asíntotas podemos decir que:

y=b/a x=3/4 x

Las ecuaciones de las asíntotas son:

y=-b/a x=-3/4 x

Ecuación general de la hipérbola

Desarrollaremos la ecuación siguiente:

((x-h)^2)/a^2 - ((y-k)^2)/b^2 = 1

Eliminando denominadores

b^(2 ) (x-h)^2- a^2 (y-k)^2 = a^2 b^2

Desarrollando productos notables

b^2 (x^2-2xh+h^2 )-a^2 (y^2-2yk+k^2)=a^2 b^2

Propiedad distributiva

b^2 x^2-2b^2 xh+b^2 h^2-a^2 y^2+2a^2 yk-a^2 k^2=a^2 b^2

Igualando a cero

b^2 x^2-2b^2 b^2 h^2-a^2 y^2+2a^2 yk-a^2 k^2-a^2 b^2=0

Si hacemos:

A=b^2

C= -a^2

D=〖-2b〗^2 h

E=〖2a〗^2 k

F=b^2 h^2-a^2 k^2-a^2 b^2

Puede escribirse la expresión anterior en la forma siguiente:

Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0

Ésta es la forma general de la ecuación de la hipérbola, en la cual su eje es paralelo a los ejes coordenados.

Los signos de A y C deben ser diferentes, es decir A.C<0, característica ésta que distingue a la hipérbola de la circunferencia. La parábola y la elipse.

Ejercicio #1

Determinar la ecuación general de la Hipérbola partiendo de una forma ordinaria.

((x-2)^2)/9-((y+3)^2)/4=1

36 ((x-2)^2)/9-36 ((x+3)^2)/4=36

4(x-2)^2-9(y+3)^2=36

4(x^2-4x+4)-9(y^2+6y+9)=36

4x^2-16x+16-9y^2-54y-81=36

4x^2-9y^2-16x-54y+16-81-36=0

4x^2-9y^2-16x-54y-101=0

Propiedades de la hipérbola

La tangente a la hipérbola b^2 x^2+a^2 y^2=a^2 b^2 en cualquier punto P_1 (X_1,Y_1) de la curva, tiene por ecuación:

b^2 x_1 x+a^2 y_1 y=a^2 b^2

Las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola b^2 x^2+a^2 y^2=a^2 b^2 de pendiente m son:

y=mx±√(a^2 m^2+b^2 ) |m|>b⁄a

La tangente a la hipérbola en cualquier punto de la curva es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.

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