Informe de geometría

Informe de geometría

Índice

Introducción        2

Teorema de Pitágoras        3

Historia.        3

Definición y propiedades.        3

Aplicación del teorema        3

Teorema de Euclides        6

Historia        6

Definición        6

Se presentan dos Teoremas de Euclides:        6

Tipos de teoremas        6

Teorema de Euclides referido a un cateto        6

Teorema de Euclides relativo a la altura        8

Propiedades        9

Teorema de Euclides referido a la altura:        10

Teorema de Euclides referido al cateto:        10

Relación entre los teoremas de Euclides:        11

Aplicaciones teorema de Euclides        11

Thales de Mileto        12

Historia        12

Definición        12

Existencia de otros teoremas en Thales        12

Propiedades de Thales        12

Aplicaciones        13

Conclusión        14

Bibliografía        15

Introducción

Las Matemáticas se han expandido a lo largo del tiempo creando nuevas aplicaciones a nuestra vida diaria siendo estas un aporte al momento de resolver problemas, sean estos fáciles o difíciles como, por ejemplo: el cálculo de la distancia de nuestra casa al colegio, la realización de una rampa o el arreglo de los cables de un poste de luz.

Para lograr resolver problemas de este estilo primero necesitamos saber ¿qué es un teorema? Un teorema es un enunciado que puede ser demostrado como verdadero mediante argumentos lógicos y operaciones matemáticas siendo este es de gran utilidad en algunas ciencias, como lo son: la Geometría, Aritmética, Trigonometría, etc.

El aprendizaje de la Geometría es orientado al desarrollo de habilidades geométricas como: el reconocimiento de figuras y cuerpos geométricos por su forma y tamaño, visualización de los elementos que configuran una construcción geométrica, establecer semejanzas y diferencias entre figuras y cuerpos geométricos, etc. Por otro lado, la Geometría nos enseña a dar justificaciones lógicamente válidas y, así, ir progresivamente aproximándose a la prueba o demostración formal del problema. Para lograr conocer más allá de la Geometría, no podemos dejar pasar la historia que hay detrás de este razonamiento matemático.

Las ciencias Matemáticas surgen en la antigua Grecia gracias a sus filósofos matemáticos, entre los más destacados podemos mencionar a: Pitágoras, Thales y Euclides. Pitágoras, fue quien estableció que la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de los catetos al cuadrado. Thales, nos indicó que al trazar una línea paralela a cualquiera de los lados de un triángulo obtendremos otro triangulo semejante al original. Y, por último, tenemos a Euclides, él nos explicó las relaciones geométricas del triángulo rectángulo y la relación de los catetos con la hipotenusa.

A continuación, en este informe visualizaremos y analizaremos cuales fueron las aplicaciones, propiedades y usos que le dieron estos filósofos matemáticos a sus teoremas, con el fin de aprender cómo aplicar y resolver determinados problemas de nuestro día a día.

Teorema de Pitágoras

Historia.

El teorema de Pitágoras fue comprobado en el siglo VI a.C. por el filósofo y matemático griego Pitágoras, pero se estima que pudo haber sido previo a su existencia, o demostrado bajo otra denominación. Respecto de los babilonios hay esta nota:

“Desde el punto de vista matemático, las novedades más importantes que registran los textos babilónicos se refieren a la solución algebraica de ecuaciones lineales y cuadráticas, y el conocimiento del llamado "teorema de Pitágoras" y de sus consecuencias numéricas”.

Pitágoras vivió durante el siglo sexto A.C en la isla de Samos, en el mar Egeo. También vivió en Egipto, Babilonia y el sur de Italia. Pitágoras fue profesor y filósofo. El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su demostración, sobre todo, es esfuerzo de la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación.

Definición y propiedades.

El teorema de Pitágoras establece que, en todo triángulo rectángulo, es decir que debe un ángulo de 90°. El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. (La suma de los catetos al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado).  

Aplicación del teorema

El teorema tiene aplicaciones en muchos ámbitos de la vida cotidiana, y, se usa, principalmente, para calcular un lado de un triángulo que no conocemos.

Imagina que queremos calcular cuál es el tamaño de la pantalla de nuestro celular. Esa medida suele decirse en pulgadas, pero nosotros vamos a calcularla en centímetros. Mediante la proposición de Pitágoras, lo haríamos así:

La diagonal del teléfono forma un triángulo con los lados, que miden 12 cm y 5 cm:

La diagonal es la hipotenusa, porque es el lado más largo del triángulo. Como no sabemos su longitud, lo hemos llamado x.

Y como ya hemos identificado la hipotenusa, los otros dos lados son los catetos, a los que hemos llamado b y c, y tenemos su longitud: b = 5 cm y c = 12 cm.

Ahora vamos a aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular la diagonal del celular (hipotenusa). El teorema dice:[pic 1]

[pic 2]

Y tenemos que sustituir cada letra por las medidas de la pantalla de nuestro teléfono, usando para ello la imagen de arriba:

[pic 3]

Luego, realizamos la operación que hemos conseguido. Para eso, primero, elevamos al cuadrado los catetos:

[pic 4]

Una vez hecho eso, hacemos la suma:

[pic 5]

Y, ahora, quitamos la potencia a la x. Para ello, pasamos el ² al lado derecho de la ecuación. Al pasar una potencia de “elevado a dos: ²” al otro lado, todo lo de ese lado se convierte en una raíz cuadrada (√ ):

[pic 6]

Para finalizar, hacemos la raíz cuadrada:

[pic 7]

¡Ya hemos averiguado cuánto mide x mediante el Teorema de Pitágoras! Por lo que la diagonal de este teléfono mide 13 cm.

Muchas veces, al aprender un concepto matemático, pensamos: “¿Y esto para qué sirve?”. Pues el Teorema de Pitágoras sirve para mucho más que lo que te imaginas, como, por ejemplo:

Como hemos visto, para calcular el tamaño de la pantalla de tu televisión o móvil. Los smartphones actuales tienen grandes pantallas que se miden en pulgadas en base al cálculo de la diagonal de la pantalla. Para ello se utiliza el Teorema de Pitágoras.

En la arquitectura o la carpintería, para construir. Por ejemplo, mediante el Teorema de Pitágoras, un arquitecto puede calcular la longitud del tejado de una casa. O también puede calcular el tamaño de los cables que va a necesitar para sostener un puente.

Para asegurarse de que algo está recto. Según el teorema, un triángulo de  es un triángulo recto. Por tanto, un triángulo con medidas proporcionales a las descritas será siempre recto. Esta propiedad puede usarse para asegurarse [pic 8]

de que, por ejemplo, una pared está recta ¡O incluso para marcar en el suelo un campo de fútbol con líneas rectas entre sí!

Para localizarte en un mapa. Los teléfonos usan el sistema GPS para efectuar la geolocalización. Ese sistema se basa en el uso de la triangulación, que consiste en determinar una posición en base a otras dos posiciones conocidas. Y ese mismo sistema es utilizado en aviones, barcos ¡O incluso satélites espaciales! Hasta es utilizado para localizar el epicentro de un terremoto. Por lo que, de no ser por el Teorema de Pitágoras, tu teléfono no podría localizarte.

Para determinar la medida de grandes objetos difíciles de medir como montañas o edificios. En una escena de crimen, el teorema de Pitágoras puede usarse para adivinar la trayectoria de la bala del asesino, y, así, saber desde dónde disparó.

Teorema de Euclides

Historia

Euclides fue un matemático y geómetra griego (330 a.C. - 275 a.C.). Se le conoce como "el padre de la geometría". Fue un activo en Alejandría en tiempos de Ptolomeo I Sóter. Fue el fundador de la escuela de matemáticas de la ciudad. Sus principales obras son la geometría sintética y el teorema de Euclides.

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