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* Puntos de inflexión (segunda o tercera derivada)

Si en un punto de la curva cambia el sentido de la concavidad, entonces decimos que la curva tiene un punto de inflexión. Para determinar los puntos de inflexión de una curva hay dos procedimientos:

A. El criterio de la segunda derivada

B. El criterio de la tercera derivada.

* Criterio de la segunda derivada para obtener los puntos de inflexión

Si la concavidad de una curva cambia de sentido, entonces la segunda derivada cambia de signo y en consecuencia es igual a cero en el punto de inflexión. De lo expuesto deducimos el criterio de la segunda derivada para calcular los puntos de inflexión de una función y=f (x):

A. Calculamos la primera y la segunda derivadas de la función

B. El resultado de la segunda derivada se iguala a cero y obtenemos las raíces.

C. Analizamos en f’’(x).

Sea la raíz X1, si para un valor de x tal que x < X1 y para otro valor de x > X1 cambia de signo al sustituir los valores en f’’(x) entonces hay inflexión.

D. En forma semejante analizamos las otras raíces X2, X3,… obtenidas.

E. Para obtener las coordenadas del punto de inflexión que corresponde al valor de x= X1 calculamos el valor de la ordenada en la función original.

* Criterio de la tercer derivada para obtener los puntos de inflexión

Procedemos en la forma siguiente:

A. Calculamos la primera, la segunda y la tercera derivadas.

B. El resultado de la segunda derivada lo igualamos a cero y obtenemos las raíces.

C. El valor de las raíces de la segunda derivada se sustituyen en la tercera derivada; en la raíz que no anula a la tercera derivada hay un punto de inflexión.

D. En la función original calculamos los valores de las ordenadas, según se trate de una o de varias.

Máximos y mínimos relativos. Gráficas.

* Máximos y mínimos relativos ( primera y segunda derivada)

Un máximo y un mínimo no son necesariamente el mayo ni el menos valor de la función, por eso se les llama máximo y mínimo relativos; no deben confundirse con los puntos máximo y mínimo de una curva, que son aquellos cuya ordenada es

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