Investigacion De Operaciones

Investigación de operaciones. (I. O.)

1……………………………………………….. Programación lineal

1.1……………………………………………... desarrollo y tipos de modelos de I. O.

1.2……………………………………………… formación de modelos

1.3……………………………………………… método grafico

1.4……………………………………………… método simplex

1.5……………………………………………… aplicaciones

2………………………………………………… análisis de redes

2.1……………………………………………… conceptos básicos

2.2……………………………………………… problemas de transporte

2.3……………………………………………… problema de asignación

2.4……………………………………………… problema de la ruta más corta

2.5……………………………………………… programación de proyectos

3………………………………………………... programación no lineal

3.1……………………………………………… conceptos básicos

3.2……………………………………………… ilustración básica de programas no lineales

3.3……………………………………………… optimización clásica

3.4……………………………………………… puntos de inflexión

3.5……………………………………………… máximos y mínimos

4………………………………………………... teoría de inventarios

4.1……………………………………………… sistemas de administración y control

4.2……………………………………………… modelos deterministicos

4.3……………………………………………… lote económico de producción

5………....................................................…. Líneas de espera

5.1…………………………………………….. Características y suposiciones

5.2…………………………………………….. Tecnología y notación

5.3…………………………………………….. Trabajo de nacimiento a muerte

5.4…………………………………………..… modelos de poisson

5.5…………………………………………..… análisis de costo

Investigación de operaciones.

La I. O. es un conjunto de técnicas matemáticas que guardan una estructura lógica, encaminada a optimizar los recursos destinados para fines específicos en muy diversas áreas científicas.

Optimizar significa encontrar la mejor posibilidad o alternativa de todas las que puedan presentarse.

Estructura de la I. O.

Cuando se aplica la I. O. se describe algún sistema o conjunto de elementos por medio de un modelo que será sometido a una serie de operaciones para determinar su comportamiento. Esto nos permite seleccionar la mejor forma de operar del sistema en estudio.

Técnicas para estructurar un modelo de I. O.

1. Formulación del problema.

2. Diseño y construcción de un modelo.

Esto se hace mediante:

a) La simulación.

b) Programación lineal.

c) Matemáticamente.

La construcción matemática cosiste en la reformulación de dos clases de relaciones.

3. La función objetivo

4. Las restricciones

Una vez identificadas las variables importantes del problema la función objetivo se escribe en término de estas. Las ecuaciones de restricción establecen los rangos de valores que pueden tomar las variables.

X+Y= 39 X= edad de Luis

X-Y= 1 Y= edad de Jenny

2X = 40

X= 20 → 20 + Y = 39

Y = 39 – 20 = 19.

La programación lineal se ocupa de los problemas de asignación de recursos limitados destinados a actividades simultáneas que compiten por ellos entre sí. Ejemplos:

1. Recursos para las necesidades domesticas.

2. Asignación de recursos nacionales (educación, seguridad, etc.)

3. Diferentes recursos de acción en administración.

4. Solución de juegos gerenciales.

La programación lineal utiliza un modelo matemático para describir estos fenómenos. En este modelo todas las funciones empleadas deben ser lineales. El termino programación lineal se refiere a que se establecen una serie de pasos lógicos que permiten procesar diferentes problemas bajo un mismo algoritmo (programa). Ejemplo:

• La compañía reddy mikk produce pintura para interiores y exteriores a partir de dos materias prismas. N1 y N2

Materia prisma Toneladas de materia prima por tonelada de: Disponibilidad máxima de toneladas

(diaria)

p. e. p. i.

M1

M2 6

1 4

2 24

6

Utilidad X tonelada ($1000) 5 4

La empresa quiere saber la mezcla óptima que maximice la optimidad diaria.

• Pasos de la P. I.

1. X = toneladas diarias de P. E.

Y = toneladas diarias de P. I.

2. Construcción de la función objetivo que expresa lo que se desea optimizar.

(1) F = 5X + 4Y ← utilidad

3. Restricciones

(2) 6X + 4Y ≤ 24 X ≥ 0

(3) X + 2Y ≤ 6 Y ≥ 0

4. Método grafico

• De (2) 6X + 4Y ≤ 24

Si X = 0 → Y = 6 → p = (0,6)

Si Y = 0 → X = 4 → p = (4,0)

• De (3) X + 2Y ≤ 6

Si X = 0 → Y = 3 → p = (o, 3)

Si Y = 0 → X = 6 → p = (6,0)

• Se despeja “Y” de (2)

Y = ¼ (24 – 6X)

• Se sustituye en (3)

X + 2 [1/4 (24 – 6X)] = 6

X + 12 – 3X = - 6

-2X = -12 + 6 = -6

→ X = -6/-2=3

→ Y = ¼(24 – 6(3)) = ¼(24 – 18) = ¼(6) = 6/4 = 3/2 =1.5

→ C = (3,1.5)

• Función objetivo:

F(x) = 5X + 4Y

F(a) = 5(0) + 4(0) = 0

F (b) = 5(0) + 4(3) = 12

F(c) = 5(3) + 4(1.5) = 21

F (d) = 5(4) + 4(0) = 20

• La solución optima es en C = (3,1.5)

Se deben producir 3 toneladas diarias de P.E. y 1.5 toneladas de P. I.

Método grafico.

Optimizar el programa lineal.

F=5000 x + 3000 y ← utilidades, maximizarla.

3x + 5y ≤ 15

Restricciones 500x + 200y ≤ 1000

X ≥ 0, y ≥ 0

• De (2) 3x + 5y ≤ 15

Si x = 0, y = 3 p (0,3) a (0,0)

Si y = 0, x = 5 p (5,0) b (0,)

• De (3) 500x + 200y ≤ 1000 c =

Si x = 0, y = 5 p (0,5) d (2,0)

Si y = 0, x = 2 p (2,0)

Se despeja Y de (2)

3x + 5y ≤ 15

Y = 1/5(3x – 15)

Se sustituye en (3)

500x + 200 [1/5(3x – 15)] = 1000

500x + 200 (3/5x – 0.33) = 1000

500x + 000/.5x – 66 = 1000

620x – 66 = 1000

620x = 1066

X = 1.71

Y = 1/5 (3 (1.71) – 15) = 1/5 (5.13 – 15) = 1/5 (- 9.87) = - 9.87/5 = 1.974

F(a) = 500 (0) + 3000 (0) = 0 f(c) = 500 (1.71) + 3000 (1.97) =6763

F (b) = 500 (0) + 3000 (2) = 6000 f (d) = 500 (2) + 3000 (0) = 1000

Una panadería produce dos tipos de pasteles, el pastel A requiere 2kg de harina, 1kg de manteca y 1kg de azúcar. El pastel B requiere 1kg de harina, 2kg de manteca y 3kg de azúcar. La panadería dispone diariamente de 160kg de harina, 110kg de manteca y 150kg de azúcar. Encontrar el numero de pasteles de cada tipo que deben producirse diariamente para obtener la utilidad máxima, si los pasteles A proporcionan $30.00 c/u y los B $50 c/u.

• X = pasteles tipo A

Y = pasteles tipo B

F = 30x + 50y

Materia prima pasteles disponibilidad

A B

harina 2 1 160

manteca 1 3 150

azúcar 1 2 110

utilidad 30 50

2x + y ≤ 160 solos pasteles B

X + 3y ≤ 150 f = 50 (50) = 2500

X + 2y ≤ 110 solos pasteles A

X ≥ 0, y ≥ o f = 30 (80) =2400

(1) → 2x + y = 160

X = 0 y =160 p (0,160)

Y = 0 x = 80 p (80, 0)

(2) → x + 3y = 150

X = 0 Y = 50 P (0,50)

Y = 0 X = 150 P (150,0)

(3) → X + 2Y = 110

X = 0 Y = 55 P (0.55)

Y = 0 X = 110 P (110,0)

F(a) = 30 (0) + 50 (0) = 0

150 f (b) = 30 (0) + 50 (50)

...