Investigacion De Sumatoria

INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA

Profesor:

EDGAR LORENZO HERNANDEZ PEREZ

ASIGNATURA:

Calculo Integral

Alumno:

Alfonso Ravize Barrera

Tema:

Investigacion de sumatoria

SUMATORIA

El sumatorio o la operación de suma, es un operador matemático que permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos. Se expresa con la letra griega sigma ( , Σ), y se define como:

Esto se lee: «sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i».

La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m.

La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:

Pudiendo ver además que si m = n entonces:

Si m es mayor que n, el resultado es el elemento neutro de la suma, el cero:

Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacer de esta forma:

\sum^{5}_{i = 1} i =

1 + 2 + 3 + 4 + 5 =

15

También hay fórmulas para calcular los sumatorios más rápido. Por ejemplo, para sumar los primeros mil números naturales no tiene mucho sentido sumar número por número, y se puede usar una fórmula como esta:

\sum^{n}_{i = 1} i =

\frac{n ( n + 1 )}{2}

\sum^{1000}_{i = 1} i =

\frac{1000 \; (1000 +1)}{2} =

500\;500

Se debe notar que aunque el término sumatorio se refiere a un operador matemático útil para expresar cierto tipo de suma, no sustituye este término a la palabra suma. Se dice: «la suma de dos y tres es cinco», y no «el sumatorio de dos y tres es cinco». Por la misma razón, decir que se realizará, por ejemplo, el sumatorio de unos votos, es notoriamente un disparate. Los operadores de suma son útiles para expresar sumas de forma analítica; esto es, representar todos y cada uno de los sumandos en forma general mediante el «i-ésimo» sumando. Así, para representar la fórmula para hallar la media aritmética de n números, se tiene la siguiente expresión:

\overline{x} =

\frac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n x_i}{n}

Propiedades de las sumatorias

Entre las propiedades generales de las sumatorias reportadas en la literatura se encuentra las once que se relacionan a continuación, cuya demostración se realiza utilizando el procedimiento matemático de Inducción Completa.

Reportadas en la literatura

Propiedad #1:

Propiedad #2:

Propiedad #3:

Propiedad #4:

Propiedad #5:

Propiedad #6:

Propiedad #7:

Propiedad #8:

Propiedad #9:

Propiedad #10:

Propiedad #11:

Obtenidas en este trabajo

En la práctica existen múltiples problemas cuya solución conduce al cálculo de sumatorias que cumplen con requisitos especiales, como es el caso de la solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales resultante para la determinación de las derivadas de funciones con intervalo de variación uniforme de la variable dependiente; los problemas que exhiben simetría, etc., bajo cuyas condiciones es posible obtener expresiones útiles de trabajo, que simplifican las operaciones a realizar, entre las que pueden señalarse las que se deducen a continuación. Considerando simetría en el recorrido del índice de la suma

Una condición que trata de utilizarse siempre que sea posible, ya que simplifica los cálculos en los modelos de fenómenos o procesos, es la simetría, la que en términos de las sumatorias esta característica se corresponde con la variación del índice de la suma en el intervalo como se indica a continuación:

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