LA INTEGRAL INDEFINIDA
Enviado por Anthony Avellaneda Paitán • 9 de Mayo de 2021 • Informes • 13.267 Palabras (54 Páginas) • 257 Visitas
CAPITULO 1
1.1 Tema: LA INTEGRAL INDEFINIDA
Objetivos: Al finalizar las clases, del capítulo I, el estudiante deberá ser capaz de:
- Describir el concepto de integral indefinida.
- Explicar las propiedades básicas de la integral indefinida:
. Linealidad . Derivada de la Integral . Integral de la derivada
- Describir y utilizar correctamente las fórmulas de integración inmediatas más elementales:
Integral de una constante e integral de una potencia.
- Explicar y aplicar los métodos de sustituciones algebraicas para el cálculo de integrales indefinidas.
- Explicar las integrales inmediatas de las funciones trigonométricas:
[pic 1]
- Explicar el método de integración por partes y aplicarlo en el cálculo de ciertas integrales indefinidas.
- Explicar y aplicar el método de sustituciones trigonométricas para el cálculo de integrales indefinidas.
- Calcular integrales indefinidas que requieran una sustitución elemental para ser determinadas por la fórmula de la potencia.
CAP. 1:
1.1 La Derivada Inversa
Llamada también la Antiderivada o La Antidiferenciación o Integral Indefinida, es el proceso inverso de la derivada.
En esta sección estamos interesados en que dada una función f, hallar otra función F tal que: , es decir que : [pic 2][pic 3]
A este proceso inverso se le conoce como antidiferenciación o proceso inverso de la diferenciación y que se conoce con el nombre de integración.
Por ejemplo, si f(x) = cosx , entonces , F(x) = senx puesto que:
[pic 4]
Es decir que la derivada inversa del coseno es el seno y antiguamente se denotaba como: [pic 5]
En general se expresaba : / [pic 6][pic 7]
1.1.1 Definición: Una función F(x) se llama la Antiderivada de otra función f(x) continua sobre un intervalo I si .[pic 8]
Ejemplo:
1.- Dada la función F tal que: es una antiderivada de f tal que: [pic 9]
, , puesto que: , [pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]
Sin embargo podemos verificar también que:
y [pic 14][pic 15]
son ambas antiderivadas de f puesto que:
,[pic 16][pic 17]
o sea que una función f puede tener muchas antiderivadas.
En general, si F es una antiderivada de f, entonces, F + C también es una antiderivada de la función f para toda constante puesto que: [pic 18][pic 19]
La Integral Indefinida
1.1.2 Definición: Si F es una antiderivada de f sobre un intervalo I, es decir que;
, entonces a se le conoce como la antiderivada general de f.[pic 20][pic 21]
Es decir que: , [pic 22][pic 23]
Así tenemos que la antiderivada de es puesto que lo cual lo expresamos como: [pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]
1.1.3 Definición: Una integral indefinida para una función f definida en un intervalo I es una función F tal que I y se denota como:[pic 28]
…(I) [pic 29]
A la integral indefinida también se le llama primitiva de f(x), que no es única, puesto que, si por ejemplo f(x) = 3, entonces todas sus primitivas están representadas por , en la que C es un constante cualquiera, denominada constante de integración.[pic 30][pic 31]
Notación: Es costumbre denotar una integral indefinida de una función f por
[pic 32]
En esta segunda notación, la dx carece de sentido por sí misma. Es la expresión completa la que tiene sentido, expresión que resultará práctico cuando estudiemos posteriormente, en este mismo capítulo, el método de la sustitución.[pic 33]
Observación: De la definición dada en , es decir que:[pic 34]
…[pic 35][pic 36]
entonces: …[pic 37][pic 38]
luego, de :
[pic 39][pic 40]
Ejemplos:
Hallar : [pic 41][pic 42]
Solución: i) como , entonces :
[pic 43][pic 44]
ii. como , entonces: [pic 45][pic 46]
1.1.4 Propiedades Básicas de la Integral Indefinida
A continuación mencionaremos algunas integrales inmediatas, a las cuales las llamaremos reglas o propiedades básicas, que las verificamos directamente, aplicando la definición de integral indefinida.
1.- , :cte 2.- ,[pic 47][pic 48][pic 49][pic 50]
...