Resolver la siguiente integral: Integral Indefinida

Ejemplo1

[pic 1]     Resolver la siguiente integral:

[pic 2]

Solución

• Método a emplear: Integración inmediata de funciones potenciales.
• Regla de integración:

Ecuación 1.1

[pic 3]

[pic 4]     Desarrollo:

❖    Determinar el valor de n. Para ello se debe comparar la integral dada, con la regla de integración. Al realizar dicha comparación, se obtiene que:

n=5.

❖    Siguiendo la regla de integración, se debe realizar la siguiente operación:

n+1

❖    Como n=5, se tendrá el siguiente resultado:

n+1=5+1=6 

❖    La regla de integración que se está aplicando, para resolver este ejercicio, indica que éste resultado debe colocarse tanto en el exponente de la antiderivada como en el denominador de la misma. Así se obtiene:

[pic 5]

❖    Ahora, si a ésta expresión se le agrega la constante de integración c, se tendrá que:

[pic 6]

❖    Concluyéndose que: 

[pic 7]= [pic 8]

❖    Verificación: Si se deriva el resultado, [pic 9],se obtiene  [pic 10], que constituye la función primitiva u original; poniéndose de manifiesto que la diferenciación y la integración son procesos inversos.

Ejemplo 2

[pic 11]     Resolver la siguiente integral:

[pic 12]

Solución

• Método a emplear: Integración de la sumatoria de funciones e Integración inmediata de funciones potenciales.

• Reglas de integración:

Ecuación 1.2

[pic 13]

y Ecuación1.1

• Antes de presentar el desarrollo de la integral dada, es necesario recordar que la integral es un operador lineal y por tanto cumple con las siguientes propiedades: 

1. Las constantes pueden ser extraídas del símbolo integral.

2. Si el exponente del integrando es uno y está conformado por términos que se están sumando o restando entre si, la integral original puede separarse en tantas integrales como términos posea el integrando.

[pic 14]     Desarrollo:

❖    Como el integrando tiene exponente 1 y está conformado por dos términos que se están restando, se puede aplicar la propiedad 2 de un operador lineal (O.L), es decir, la integral original puede ser reemplazada por dos integrales parciales, como se muestra a continuación:

[pic 15]= [pic 16]

Así, se ha simplificado el ejercicio original y bastará con resolver cada una de las integrales parciales para obtener la respuesta pedida.

❖    En las integrales parciales, se observa la presencia de constantes por lo cual,  en atención a la propiedad 1 de un (O.L), se procede a extraer dichas constantes de cada uno de los símbolos integrales. Así:

[pic 17]

❖    El diferencial indica que se debe integrar con respecto a la variable y, razón por la cual, se hace pertinente transformar el radical [pic 18] en  exponente fraccionario y a su vez, colocar [pic 19] en el numerador, cambiando el signo de su exponente de acuerdo a de las reglas de potenciación, sección2. Obteniéndose:

[pic 20]

❖    Ahora, basta con recordar y aplicar los pasos desarrollados en el ejercicio anterior para obtener:

[pic 21]

❖    Resolviendo las operaciones básicas indicadas en la expresión anterior, se tiene que:

[pic 22]+ [pic 23][pic 24]

❖    Se tomará como norma de uniformidad la siguiente:

“Los resultados finales de una integral, no deberán contener exponentes fraccionarios ni exponentes negativos”

(Ver: redes conceptuales previas, seccion 1 y seccion 2)

       Aplicando este criterio, se obtiene:

[pic 25]

❖    Concluyéndose que: 

[pic 26]

Si bien es cierto que cada integral aporta una constante, es correcto escribir una sola “c”, que representa la sumatoria de todas las constantes que puedan surgir en un ejercicio.