Integral Indefinida

Integral Indefinida

Introducción: En semestre anterior se analizo el problema básico

• Dada una función f, encontrar su derivada . [pic 1]

En este capítulo y en los subsecuentes veremos cuál importante es el problema de:

• Dada la función f encontrar una función F cuya derivada sea f.

En otras palabras, para una función dada f, ahora pensamos en f como una derivada. Deseamos encontrar una función F cuya derivada sea f; es decir, (x) = f(x) para toda x en algún intervalo. Planteado en términos generales, es necesario diferenciar en reversa.[pic 2]

Definición: Antiderivada (Integral)

Se dice que un función F es una antiderivada de una función f sobre algún intervalo I si (x) = f(x) para toda x en I. [pic 3]

Ejemplo: Hallar la antiderivada de:

[pic 4]

 Solución

 Tal que , [pic 5][pic 6][pic 7]

[pic 8]

Ya que  (x)=2x[pic 9]

Nota:  Una función tiene mas de una atiderivadas

Ejemplo: Hallar la antiderivada de

[pic 10]

Pensemos en

 Tal que [pic 11][pic 12]

Solución

[pic 13]

Podemos generalizar la antiderivada con el siguiente teorema

Teorema de antiderivada:

Si (x)=(x), para todo x en un intervalo , entonces [pic 14][pic 15][pic 16]

[pic 17]

Para todo x en un intervalo.

Ejemplos

Determine las antiderivadas de:

1. [pic 18]

Solución:

[pic 19]

1. [pic 20]

Solución

[pic 21]

Con todo lo anterior, podemos definir la integral indefinida

 se lee “la integral de f(x) con respecto a x”[pic 22]

Ejemplo determine la integral siguiente

[pic 23]

Integrales Básicas

1. [pic 24]

Ejemplo

1. [pic 25]
2. [pic 26]

1. [pic 27]

1. [pic 28]

1. [pic 29]

1. [pic 30]

Ejemplos determine las siguientes integrales

1. [pic 31]
2. [pic 32]

[pic 33]

1. [pic 34]

[pic 35]

Jueves 11 de mar. de 21

Dudas

Ejercicio 7

[pic 36]

Ejercicio 28

[pic 37]

Continuación de Integrales básicas:

1. [pic 38]

1. [pic 39]

1. [pic 40]

1. [pic 41]

1. [pic 42]

1. [pic 43]

1. [pic 44]

1. [pic 45]

1. [pic 46]

Ejemplos evaluar las integrales

1. [pic 47]

1. [pic 48]

Ejercicios obtengan las siguientes integrales

[pic 49]

[pic 50]

Dudas

[pic 51]

[pic 52]

16 de Marzo de 2021

Metodos de Integracion

Metodo Por sutitucion o Cambio de Variable

En las últimas clases se analizó el hecho de que para cada fórmula para la derivada de una función hay una fórmula de antiderivada o integral indefinida correspondiente. Por ejemplo, al interpretar cada una de las funciones

[pic 53]

como una antiderivada, se encuentra que la “reversa de la derivada” correspondiente es una familia de antiderivadas:

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

En la siguiente exposición se analiza la “reversa de la regla de la cadena”. En este análisis, el concepto de diferencial de una función desempeña un papel importante. Recuerde que si u = g(x) es una función diferenciable, entonces su diferencial es

 du = g‘(x) dx.[pic 57]

Se empieza con un ejemplo.

 Si deseamos encontrar F tal que

[pic 58]

Al pensar hacia atrás ( antiderivada) podemos argumentar que para obtenr  debimos haber diferenciado ,  por lo que podemos pensar [pic 59][pic 60]

     (1)[pic 61]

Lamentablemente la respuesta no la correcta, ya que cuando derivamos no obtememos la funcion f(x)., obeserve

[pic 62]

Note que el factor 5 falta en (1), entonces unsando un poco de algebra poemos hacer el siguiente arreglo.

[pic 63]

Teorema: Regla de la Sustitucion u

Si hacemos , es una función diferenciable cuyo rango es un intervalo I, f es una función continua sobre I y F es una antiderivada de f sobre I, entonces [pic 64]

[pic 65]

Directrices para efectuar una sustitución u

i)  En la integral 􏰕f(g(x))g¿(x) dx identifique las funciones g(x) y g¿(x) dx.

ii)  Expreselaintegraltotalmenteentérminosdelsímboloualsustituiruyduporg(x) y g¿(x) dx respectivamente. En su sustitución no debe haber variables x; déjelas en la integral.

iii)  Efectúelaintegraciónconrespectoalavariableu.

iv)  Finalmente,vuelvaasustituirg(x)porelsímbolou.

En terminos de sustitucion

[pic 66]

Por lo que podemos reescribir la formula 3, quedando

[pic 67]

Ejemplo: Evaluar

[pic 68]

Solucion : rescribimos la integral por

[pic 69]

Por lo que poemos hacer el cambio

[pic 70]

Por lo que la integral quda como

[pic 71]

Ejercicio evaluar

1. [pic 72]

Solucion

[pic 73]

[pic 74]

1. [pic 75]

Solucion

[pic 76]

[pic 77]

1. [pic 78]

Solucion

[pic 79]

[pic 80]

[pic 81]

Dudas

Ejercicio 9 [pic 82]

[pic 83]

[pic 84]

De forma general, podemos obtener una formula

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Ejercicio 10 [pic 87]

...