LAS GEOMETRÍAS

[pic 1]INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE

“DR. JUAN PUJOL”

Tercer Evaluación Parcial Geometría II

LAS GEOMETRÍAS

Docente: Bordón, Paula Curso: 2do año “A” Alumnos:

Encinas, Iván

Espíndola, Omar

Lopez, José

Hipérbola

Definición como sección cónica

Si se corta un cono recto mediante un plano no necesariamente paralelo al eje de simetría y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de

revolución  se obtiene una curva abierta de dos ramas llamada hipérbola

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Definición como lugar geométrico

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de las distancias a dos puntos fijos llamados focos, es una constante igual a 2a y esa constante es menor que la distancia entre dos focos llamada 2c.

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Observando el triángulo PEl segmento        = 2c por definición𝐹1𝐹2 ǁ—ǁ P | 𝐹1𝐹2|

ǁ P𝐹1        𝐹2ǁ= ±2a por definición

2a < 2c entonces 𝑐2tal que> 𝑎2 entonces=        𝑐2 − 𝑎entonces2 > 0        =        +

entonces existe 𝑏2         𝑏2        𝑐2 − 𝑎2        𝑐2        𝑎2         𝑏2

Ecuación general de la Hipérbola centrada en el origen, (0, 0) y eje horizontal

Sea P(x, y) un punto cualquiera de la curva

Por        definición ‖𝐹1 𝑃‖—‖𝐹2 𝑃‖=        ±2a        siendo        𝐹1 𝑃 = (𝑥 − 𝑐, 𝑦)        y

𝐹2 𝑃 = (𝑥 + 𝑐, 𝑦)

=Por ±2adefinición de norma de un vector queda        (𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 −         (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2

Sumando a ambos miembros        (𝑥 −+𝑐)2 + 𝑦2 queda        = 2a +

        (𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2=−         (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2        (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2        (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2[pic 4][pic 5]

Elevando al cuadrado a ambos miembros queda(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2

(        (𝑥 + 𝑐+)2 +=  𝑦42)2 += 4a (2𝑎 +         (𝑥 − 𝑐)2 ++ 𝑦2)2 resolviendo+[pic 6][pic 7]

(𝑥 + 𝑐)2        𝑦2 + 𝑎2= 4        + 4a(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2        (𝑥 −+ 𝑐)2        𝑦2

𝑥Simplificando sumando 2xc y restando 42 + 2 𝑥 𝑐 + 𝑐2 𝑦2        𝑎2        (𝑥 − 𝑐)2 +2a ambos𝑦2         𝑥2 −miembros queda2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2

xc - 4        = 4a𝑎[pic 8]

4Multiplicando por𝑎2        (𝑥 41−𝑎 𝑐a ambos miembros queda)2 + 𝑦2

Simplificando queda4𝑥𝑐 4−𝑎 4𝑎2 = 4𝑎         (𝑥4−𝑎𝑐)2+𝑦2 [pic 9]

Elevando al cuadrado a ambos miembros queda𝑥𝑐𝑎 – a =        (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2[pic 10]

( 𝑥𝑐𝑎 – 𝑎 )2= (        (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2)2[pic 11]

( 𝑎2𝑥𝑐𝑎𝑐22 –- 2𝑎 )𝑥𝑐𝑎2=𝑎( +𝑥 𝑎−2 =𝑐) 2𝑥2+−𝑦22resolviendo𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2quedasimplificando a queda[pic 12][pic 13]

𝑥

𝑥𝑎2𝑐22 − 2𝑥𝑐 + 𝑎2 = 𝑥2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2

Restando a ambos miembros 𝑥2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2 queda

Resolviendo queda 𝑥𝑥𝑎22𝑐22−−2𝑥𝑐2𝑥𝑐++𝑐2𝑎+2 𝑦2–)        ( 𝑥2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2)        =         𝑥2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2        –        (

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