La ecuación diferencial

Universidad Mayor de San Simón Hans Müller Santa Cruz

Facultad de Ciencias y Tecnologı́a Departamento de Mathematicas

Corrección Primer parcial de Cálculo III 1, 2, 3, 4 1 de octubre de 2018

Tabla de Respuestas

1. (40 puntos) Hallar y(ln 2), sabiendo que y es solución del problema

 00

 y − 4y 0 + 4y = ex ,

y(0) = 2,

 0

y (0) = 5.

Respuesta:

La ecuación diferencial asociada al problema es una ecuación lineal de segundo orden, cuya parte homogénea

y 00 − 4y 0 + 4y = 0

es una ecuación lineal homogénea a coeficientes constantes. Por lo tanto, el polinomio caracterı́stico está dado

por

p(λ) = λ2 − 4λ + 4 = (λ − 2).

La solución general de la ecuación lineal homogénea está dada por

y = c1 e2x + c2 xe2x .

La solución particular la encontramos por tanteo, planteando y = αex , se tiene que y = ex es una solución

particular. Por consiguiente la solución general de la ecuación lineal asociada al problema es

y = c1 e2x + c2 xe2x + ex .

Resolver el problema a valor inicial, significa encontrar los valores de c1 y c2 . Remplazamos las condiciones

iniciales,

y(0) = c1 + 1 = 2 ⇒ c1 = 1,

0

y (0) = 2 · 1 + c2 + 1 = 5 ⇒ c2 = 2.

La solución del problema a valor inicial es

y = e2x + 2xe2x + ex

y por lo tanto

y(ln 2) = e2 ln 2 + 2(ln 2)e2 ln 2 + eln 2 = 4 + 8 ln 2 + 2 = 6 + 8 ln 2.

La respuesta es y(ln 2) = 6 + 8 ln 2.

2. (30 puntos) Hallar la solución general de la ecuación diferencial

yy 00 + (y 0 )2 = 0.

Reducimos el orden de la ecuación planteando y 0 = u(y). Por consiguiente, aplicando la regla de la cadena, se

tiene

d du dy du

y 00 = u= =u .

dx dy dx dy

Remplazando en la ecuación, se obtiene:

du du du

yu + u2 = 0 ⇒ u(y + u) = 0 ⇒ u = 0 o y + u = 0.

dy dy dy

Si u = 0,se tiene y 0 = 0 y por lo tanto y = c.

Sino

du du 1 d

y +u=0⇒ = − u ⇒ u = de− ln y = .

dy dy y y

Esto significa que

d 1

y 0 = ⇒ yy 0 = d ⇒ y 2 = dx + c,

y 2

Por lo que la solución general de la ecuación es

y 2 = c1 x + c2 .

Remarcamos que cuando c1 = 0, se tiene la solución para el caso u = 0.

3. (30 puntos) Hallar la solución general de

y − xy 2

y0 =

x + x2 y

Respuesta:

Factorizemos el lado derecho de la ecuación, se tiene

y(1 − xy

y0 = ,

x(1 + xy)

planteamos z = xy, de donde z 0 = xy 0 + y, remplazamos en la ecuación diferencial

y − yz 2y 2z

z0 − y = ⇒ z0 = =

1+z 1+z x(z + 1)

ecuación de tipo separable

z+1 0 2

z = ⇒ ln z + z = ln(cx2 )

z x

de donde remplazando z = yx obtenemos

x

xy = ln(c ) ⇒ x = cyexy .

y

La respuesta es x = cyexy .

2

Universidad Mayor de San Simón Hans Müller Santa Cruz

Facultad de Ciencias y Tecnologı́a Departamento de Matemáticas

Primer parcial de Cálculo III 1 1 de octubre de 2018

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Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que está respondiendo, indicando claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opción que considere correcta.

El examen esta diseñado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripción

puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opción y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendrá una bonificación

adicional de 5 puntos por la pregunta.

Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas

1. c

2. e

3. a

1. (40 puntos) Hallar y(ln 2), sabiendo que y es solución del problema

 00

 y − 4y 0 + 4y = ex ,

y(0) = 2,

 0

y (0) = 5.

Respuesta:

a) y(ln 2) = e, b) y(ln 2) = 3, c) y(ln 2) = 6 + 8 ln 2,

d) y(ln 2) = 5, e) y(ln 2) = 0, f) y(ln 2) = 4 + 4 ln 2,

g) Ninguna de las anteriores.

2. (30 puntos) Hallar la solución general de la ecuación diferencial

yy 00 + (y 0 )2 = 0.

a) y = c1 ec2 x , b) x2 + (y − c1 )2 = c2 , c) y = − ln(sin(x + c1 )) + c2 ,

d) y = c2 ec1 x , e) y 2 = c1 x + c2 , f) y = c1 x + c2 ,

g) Ninguna de las anteriores.

3. (30 puntos) Hallar la solución general de

y − xy 2

y0 =

...