La geometría proyectiva

Tema 1: Geometría Proyectiva        Célula:181

Integrantes: Andrés Felipe Londoño Fonnegra, Manzur Chidiak Criollo, Maria Isabel Carvajal Londoño, Ricardo Andres Rúa Herazo y Yam Carlos Ortiz Vallejo.

La geometría proyectiva se inicia en el siglo 17, principalmente gracias a Descartes, con el

objeto de comprender matemáticamente los métodos de perspectiva desarrollados por los artistas del renacimiento. La recta proyectiva  es el conjunto formado por las rectas en el plano  que pasan por el origen.[pic 1][pic 2]

1) Demostrar que toda recta en el plano que pasa por el origen está determinada por una ecuación de la forma; donde las constantes no son ambas iguales a cero.[pic 3][pic 4]

Por lo tanto, la recta proyectiva   se puede expresar de la forma:[pic 5]

P =[pic 6]

donde el par representa la recta determinada por la ecuación :[pic 7][pic 8]

Tenemos un par de puntos:  y la definición de que estas rectas pasan por el origen.[pic 9]

Tenemos, entonces, por definición, la recta: [pic 10]

Y  Con un vector normal y un punto de la recta podemos hallar la ecuación general:[pic 11]

[pic 12]

Formula vectorialmente:             Aplicamos el producto punto:[pic 13][pic 14]

  . , dándonos la ecuación:  donde,  entonces .[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

Conclusión: Toda recta de la forma  pasa por el origen.[pic 20]

2) Dibujar las rectas en el plano correspondientes a los siguientes puntos de  :[pic 21]

     [pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

Para la realización de este punto, sabemos que, por definición, el primero número del par corresponde a “”, el segundo, corresponde a la “ que reemplazándolos en la ecuación nos queda de la forma .[pic 28][pic 29][pic 30]

Para mayor apreciación a la gráfica, se recomienda ver el siguiente enlace: Punto 2[pic 31]

3) Sea ; demostrar que  ; para todo  del  :[pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

Por definición, sabemos que las ecuaciones de las rectas correspondientes para  : [pic 36]

[pic 37]

Entonces, nuestra demostración se basa en que desde la ecuación 1 llegar a la 2.

Tomamos factor comun "r"[pic 38]

        Como r es diferente de 0, podemos pasarlo a dividir al otro lado.[pic 39]

              Todo número divido por 0, me da 0.[pic 40]

.[pic 41]

Conclusión: todo múltiplo escalar de un punto me da el mismo punto que representa a la misma recta.[pic 42]

4) Supongamos que los puntos  y  de   son iguales, demostrar que existe un [pic 47][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46]

Como  y  son iguales, significan que forman la misma recta.[pic 48][pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

Sacamos sus normales respectivamente:  [pic 52]

Y luego, sus directores para evaluar sus pendientes: [pic 53]

Sabemos que cuando tenemos un vector director, podemos obtener sus pendientes de una manera mucho más fácil de la siguiente forma: . Entonces:[pic 54]

[pic 55]

Igualamos sus pendientes y el signo menos se cancela:

[pic 56]

Entonces,

  y por definición de dependencia lineal sabemos que: [pic 57]

 [pic 58][pic 59]

Y recordando dicha definición, podemos expresar a los vectores normales como múltiplo escalar del otro de la siguiente forma:

 [pic 60]

Sacamos sus directores: . Evaluamos sus pendientes y las igualamos:
[pic 61][pic 62]

[pic 63]

Conclusión:   ya que pertenecen a la misma recta y para que esto ocurra, una debe el ser el multiplito escalar de la otra        [pic 64]

5) Demostrar que todo punto de la recta proyectiva  es igual a uno de la forma o al punto[pic 65][pic 66]

.[pic 67]

Por definición sabemos que:

[pic 68]

[pic 69]

¿Cómo llego a eso? =

Tenemos un par de puntos:  y sabemos que como la  es 1, es necesario dividir entre esta (ya que  ,para llegar a la ecuación que se nos pide demostrar, es decir:[pic 70][pic 71][pic 72]

[pic 73]

[pic 74]

 [pic 75]

¿Cómo llego a eso? =

Sabemos que:  =1  =0, y que para que  sea igual a 1, necesitamos dividirlo entre sí mismo, es decir:[pic 76][pic 77][pic 78]

Tenemos nuestra ecuación principal:  , como b es igual a 0 nos queda la ecuación de la siguiente forma:   y necesitamos a que sea igual a 1, entonces:
 . [pic 79][pic 80][pic 81][pic 82]

Conclusión= en el caso  tenemos la representación de todas las rectas menos la del eje x que equivale a la recta  [pic 83][pic 84]

6) Demostrar que todo punto de la recta proyectiva  es igual a uno de la forma o al punto.[pic 85][pic 86][pic 87]

Por definición sabemos que:

[pic 88]

[pic 89]

¿Cómo llego a eso? =

Tenemos un par de puntos: y sabemos que como la b es 1, es necesario dividir entre esta (ya que  ,para llegar a la ecuación que se nos pide demostrar, es decir:[pic 92][pic 90][pic 91]

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