La resolución de problemas de la geometría sintetica

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CLAUDIA AYALA GIRÓN JESÚS JERÓNIMO CASTRO[pic 3]

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO, FACULTAD DE INGENIERÍA.

USO DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PARA FACILITAR

LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LA GEOMETRÍA SINTETICA

Use of analytical geometry to facilitate the resolution of synthetic geometry problems

RESUMEN

El presente trabajo pretende mostrar la importan- cia del estudio de la geometría analítica para po- der aplicar sus técnicas conocidas a la resolución de problemas que pareciera que por métodos sintéticos (uso de técnicas euclidianas) es poco in- tuitiva. Es por ello que se exponen tres ejemplos que ponen en evidencia tal hecho, detallando paso a paso la resolución de cada uno mediante ambos enfoques.

Palabras clave: geometría, analítica, sintética, problemas, técnicas

ABSTRACT

The present work pretends to show the importan- ce of the study of the analytical geometry so that the techniques known in this area can be applied to the resolution of problems, which does not seem to be intuitive by synthetic methods (use of Euclidean techniques) . Three examples that are believed to highlight this fact are exposed, detai- ling step by step the solution of each one through both approaches.

Keywords: geometry, analytical, synthetic, pro- blems, techniques

INTRODUCCIÓN

La geometría analítica, introducida por Descar- tes en 1637, proporcionó técnicas que permitie- ron no sólo abordar muchos de los problemas geométricos no resueltos hasta ese momento, sino también plantear problemas geométricos más profundos (Gascón, 2002). Con esta idea se puede observar que la geometría euclidiana, en ese momento, no había logrado dar respuesta o interpretación a todos los problemas geométricos conocidos, ya que se debe tener en cuenta que cuando se empieza a explorar un campo de pro- blemas de la geometría sintética y se introducen variaciones en ellos, se generan nuevos proble- mas que quedan limitados dentro de este campo, por lo tanto, surge la necesidad de investigar otro medio con el fin de dar solución a estos nuevos problemas. Esta necesidad puede llevar entonces a buscar la solución bajo técnicas que la geome- tría analítica provee.

En cuanto a esto, Gamboa y Ballestero, en

su trabajo sobre la enseñanza y aprendizaje de

la geometría, afirman que la geometría se pue- de considerar como un instrumento reflexivo que permite resolver problemas de diversa índole y comprender el mundo en cada uno de los esce- narios que lo conforman (Gamboa y Ballestero, 2010). Cuando se les presenta un nuevo tema ma- temático a los estudiantes, en varias ocasiones, es inevitable que recurra a la intuición geométrica, el conocimiento y a su experiencia previa. En el nivel medio superior se busca como competencia disciplinar que los estudiantes, una vez que han cursado materias en las que se estudia geome- tría euclidiana y geometría analítica, logren pro- poner, formular, definir y resolver diferentes tipos de problemas matemáticos buscando diferentes enfoques, concretamente con el programa de es- tudios PRE09 (Universidad Autónoma de Queré- taro, 2010).

Si se desea lograr esta competencia disciplinar[pic 4][pic 5][pic 6]

en los estudiantes dentro del curso de geometría analítica y más allá de éste, es importante que se estudie no sólo la construcción de ecuaciones y la representación gráfica de las propiedades de la recta, la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola, situación común a la que se limita.

Es así que el presente trabajo pretende hacer evidente una de las razones para justificar el por qué es importante estudiar geometría analítica y tener presente el uso de sus técnicas al tratar de dar respuesta a un problema geométrico, el cual bajo un enfoque de geometría euclidiana no se puede resolver de forma sencilla. Por ello en la tercera sección de este trabajo se presentan tres problemas que dejan vislumbrar que si bien se puede dar una solución sintética, ésta puede no resultar tan fácil de conseguirse en primera ins- tancia si no se tienen las nociones elementales de la geometría euclidiana bien cimentadas y un amplio bagaje de problemas resueltos por medio de estas técnicas. Pero al llevar estos problemas al plano cartesiano, es decir, al asignarle coorde- nadas a lo que plantea el problema, y al hacer uso de técnicas básicas de la geometría analítica, con un grado considerable de dominio, queda en evidencia una solución más alcanzable del pro- blema.

METODOLOGÍA

Para fines de este artículo se ha optado por traba- jar con problemas, ya que es común, en la prácti- ca docente, que el profesor los emplee para que

sus alumnos apliquen las competencias e, incluso, con el objetivo de medir el nivel de apropiación. Ante esto, se eligieron problemas que permitie-[pic 7]

44 ran encontrar una solución a partir de técnicas eu- clidianas, así como analíticas. En cada problema

se trató de desarrollar paso a paso su solución para dejar en evidencia que la solución euclidiana no resulta tan intuitiva, debido a que basta con pensar en llevar el problema a un plano cartesia- no y trabajar con coordenadas. En el apartado de resultados y discusión se describe lo antes men- cionado.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

En este apartado se presentan tres problemas resueltos mediante técnicas de la geometría sin- tética y geometría analítica. En las soluciones de estos se muestra cómo ambos enfoques pueden resolver un mismo problema, sin contraponerse en la resolución, con base en sus técnicas y con- ceptos elementales, respectivamente. Así dejan- do en evidencia que, al emplear las ideas intuiti- vas de la geometría sintética, no se puede llegar tan sencillamente a lo que se pide en cada uno de los problemas, sin embargo, al plantearlas en un plano cartesiano, con coordenadas, y al usar ele- mentos de álgebra, es decir, al emplear las técni- cas de la geometría analítica, resulta más sencillo obtener la respuesta solicitada en cada problema. A continuación, se enuncian los problemas y se muestran ambas soluciones paso a paso para que sea más claro lo anterior.

Problema 1

Sea ABC un triángulo, tal que AB=AC y sea D el pie de altura desde A. Sea E la proyección de D sobre AC y sea M el punto medio de DE. En- tonces se cumple que AM es perpendicular a BE (véase Figura 1).

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Figura 1. Representación gráfica del problema 1

Demostración (solución sintética)

Al ser N el punto medio de BD, se traza las líneas MN y AN, de acuerdo con el teorema de Tales se tiene que MNllBE. También se puede observar que △ABD es semejante al △ADE, ya que ambos son triángulos rectángulos, y que ∡BAD=∡DAE= α (véase después Figura 2).

Como N y M son puntos medios de los catetos correspondientes BD y DE (véase más tarde Figu- ra 3), se tiene que:

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Al respecto, se sigue que ∡NAM=α, además,

𝐴𝑁𝐴𝑀=𝐴𝐵𝐴𝐷 y nótese que ∡BAD=α, entonces se tiene por el criterio lal, que △ABD es semejante al △ANM.

Por lo que se consigue lo que se quería probar:

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Observación

Aunque la solución es aparentemente sencilla, in- volucrar el punto medio del segmento BD es una idea geométrica que no se le ocurre usualmente a un estudiante con poca experiencia en la solución de problemas relacionados con la geometría eu- clidiana. El involucrar el punto N puede ser con- siderado una idea realmente ingeniosa, la cual facilita de gran manera la solución del problema.

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Figura 2. Aplicando teorema de Tales

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Figura 3. Triángulos semejantes △ABD y △ANM

Demostración (solución analítica)

Se introduce el sistema de coordenadas de modo que el origen está en D, el eje x coincide con el segmento BC y el eje y coincide con el segmento AD (Figura 4).

Es así que se tiene que m2=a/b , por lo que la ecuación de DE queda defina por:

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De donde se obtiene:

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Como las coordenadas del punto E (x0,y0) deben satisfacer las ecuaciones 5 y 7, se resuelve el sis- tema de ecuaciones:

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