Las Ecuaciones Y Sus Propiedades
Edwin1992151220115 de Noviembre de 2014
1.224 Palabras (5 Páginas)434 Visitas
Inecuaciones
D
entro del mundo de la resoluci ́on de problemas te encontrar ́as en ocaciones en que la inc ́ogni-
ta que deseas encontrar no tiene tantas restricciones que la hacen ser ́unica para satisfacer
alguna ecuaci ́on, existen casos en que la soluci ́on puede ser el conjunto completo de los n ́umeros
positivos por ejemplo, o todos los n ́umero mayores que 1.000.000, que por cierto en ambos casos
la cantidad de soluciones son infinitas
1
.
Versi ́on 1.0, Enero de 2008
7.1. Intervalo
Como ya sabemos el conjunto de los n ́umeros reales
R
, lo podemos representar en una recta
num ́erica. Por lo tanto cada segmento de ́esta recta representa a un subconjunto de
R
, cada uno
de ́estos subconjuntos se denomina
Intervalo
. Existen distintos tipos de intervalos.
7.1.1. Intervalo Abierto
Un intervalo abierto de
a
a
b
, con
a < b
, es el conjunto de todos los n ́umero reales que
cumplen que son mayores que
a
y menores que
b
, es decir, son todos los
x
∈
R
tal que
a < x < b
.
Se denota como ]
a, b
[ y su representaci ́on gr ́afica es:
7.1.2. Intervalo Cerrado
Un intervalo cerrado de
a
a
b
, con
a < b
, es el conjunto de todos los n ́umero reales que
cumplen que son mayores o iguales que
a
y menores o iguales que
b
, es decir, son todos los
x
∈
R
tales que
a
≤
x
≤
b
. Se denota como [
a, b
] y su representaci ́on gr ́afica es:
1
Infinito :
Que no tiene fin en cantidad o en espacio. Matem ́aticamente se escribe con el s ́ımbolo
∞
y representa
un valor mayor que cualquier cantidad asignable.
–Diccionario Enciclop
́
edico Ilustrado NORMA–
87
7. Inecuaciones
7.1.3. Intervalo Semi-Abierto
1. Por la Izquierda
Un intervalo semi-abierto por la izquierda es el conjunto de todos los n ́umero reales que
cumplen que son mayores que
a
y menores o iguales que
b
, es decir, son todos los
x
∈
R
tales que
a < x
≤
b
. Se denota como ]
a, b
] y su representaci ́on gr ́afica es:
2. Por la Derecha
Un intervalo semi-abierto por la derecha es el conjunto de todos los n ́umero reales que
cumplen que son mayores o iguales que
a
y menores que
b
, es decir, son todos los
x
∈
R
tales que
a
≤
x < b
. Se denota como [
a, b
[ y su representaci ́on gr ́afica es:
Tambi ́an existen intervalos que no tienen l ́ımite superior o inferior (en los casos anteriores el
l ́ımite inferior era
a
y el superior
b
), en el primer caso ocupamos el s ́ımboplo +
∞
o simplemente
∞
y en el segundo el s ́ımbolo
−∞
, que significan, “mas infinito” y “menos infinito” respectivamente.
Por ejemplo veamos el conjunto formado por todos los n ́umeros que son mayores o iguales
que
a
, es decir, todos los
x
∈
R
tales que
a
≤
x
, este conjunto lo denotamos como [
a,
+
∞
[, y
gr ́aficamente se ver ́ıa como:
Si el intervalo fuera ]
a,
+
∞
[, es decir, todos los
x
∈
R
tales que
a < x
, entonces:
7.2. Desigualdades
Las desigualdades son todas aquellas expresiones algebraicas que poseen alguno de los cuatro
s ́ımbolos de desigualdad (
<, >,
≤
,
≥
)
2
.
7.2.1. Desigualdad Absoluta
An ́alogamente al concepto de identidad
3
, una desigualdad es absoluta cuando se satisface
para cualquier valor de sus inc ́ognitas o variables.
2
Ver Simbolog ́ıa, tras la portada.
3
Ver p ́agina 57
88
P. Paredes
M. Ram ́ırez
Prueba de Selecci
́
on Universitaria
7.3. Resoluci
́
on de Inecuaciones
♠
Por ejemplo:
†
x
2
≥
0
†
(
x
+
y
)
2
≥
0
†
z < z
+ 1
Son desigualdades absolutas, pues para cualquier valor real de sus variables que reemplaze,
estas desigualdades se seguir ́an cumpliendo.
7.2.2. Desigualdad Condicionada o Inecuaci ́on
An ́alogamente al concepto de ecuaci ́on
4
, una desigualdad es condicionada cuando se satisface
solo para algunos valores de sus inc ́ognitas o variables.
♠
Por ejemplo:
†
x
+ 1
≥
0, s ́olo se cumple si
x
≥ −
1
†
2
y >
10, s ́olo se cumple si
y >
5
†
z
+ 1
<
6, s ́olo se cumple si
z <
5
Estas son las llamada inecuaciones.
7.3. Resoluci ́on de Inecuaciones
Antes de comenzar esta parte veamos las siguientes reglas o axiomas que nos hablan sobre
el orden en los n ́umeros reales:
1
ero
Axioma de Tricotom ́ıa
Sean
a
y
b
∈
R
, entonces entre ellos solo cumplen
una y solo una
de las siguientes
afirmaciones:
a < b, a
=
b a > b
2
do
Axioma de Transitividad
Sean
a, b
y
c
∈
R
, tales que
a < b
y
b < c
entonces siempre
a < c
.
3
ero
Axioma de Adici ́on
Sean
a, b
y
c
∈
R
, tales
a < b
entonces siempre
a
+
c < b
+
c
.
4
to
Axioma de Multiplicaci ́on
Sean
a, b
y
c
∈
R
, tales
a < b
y
c >
0 entonces siempre
a
·
c < b
·
c
.
♦
O
bserva que
. . .
Del ́ultimo axioma se deduce entonces que si
a < b
y
c <
0
entonces
a
·
c > b
·
c
.
En otras palabras, multiplicar una desigualdad por un n ́umero negativo cambiar ́a la
direcci ́on de la desigualdad.
4
Ver secci ́on 5.1
Matem
́
atica
P. Paredes
M. Ram ́ırez
89
7. Inecuaciones
Veamos algunos ejemplos :
♠
Ejemplo 1
5
x
+ 7
<
12
→
Ocupando el axioma de adici ́on podemos sumar
a ambos lados el n ́umero
−
7.
5
x
+ 7 +
−
7
<
12
−
7
→
Como
−
7 es el inverso aditivo de 7 implica que
7 +
−
7 = 0.
5
x
+ 0
<
5
5
x <
5
→
Luego ocupando el axioma de la multiplicaci ́on
podemos multiplicar a ambos lados por
1
5
.
5
x
·
1
/
5
<
5
·
1
/
5
→
Al lado izquierdo podemos conmutar
x
·
5
·
1
/
5
<
1
→
Obteniendo finalmente.
x
·
1
<
1
x <
1
→
Lo que implica que el conjunto soluci ́on es ]
−
∞
,
1[.
Gr ́aficamente la soluci ́on se ve:
♠
Ejemplo 2
3
−
2
x
≤
7
→
Ocupando el axioma de adici ́on podemos sumar
a ambos lados el n
...