MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1.  →   →      S( 2, 1 ) unica solución[pic 1][pic 2]

1.  →  [pic 3][pic 4]

1.  → No tiene solución[pic 5]

• m ecuaciones con n incógnitas

Vamos a ver un método para encontrar todas las soluciones si es que existen de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Al hacerlo se verá que al igual que en el caso de 2x2 tales sistemas  o bien no tienen solución, tiene una solución o tienen un número infinito de soluciones. Al hablar de m ecuaciones con n incógnitas ahora se usaran X1, X2, X3…. En vez de X, Y , Z, ….

Resolver el siguiente sistema:

                     S( X1, X2, X3 )[pic 6]

Multiplicar Ec1 x ½

→ → Elimino X1 de la Ec 2 y 3(multiplico Ec1 x (-4) + ( 2Ec).[pic 7]

→ → [pic 8][pic 9]

X3 = -3, reemplazo en Ec1 y Ec2

X1 – 3 = 1           X2 + 2(3) = 4

X1 = 4                   X2 = -2        

Comprobación:

[pic 10]

Esta es la solución al sistema única y el método que hacemos se llama eliminación de Gauss Jordan.

Antes de seguir con otro ejemplo resumamos

1.- Se multiplica la 1ra ecuación x una constante para hacer el coeficiente de X1 = 1

2.- Se eliminaron los términos en X1 de la 2da y 3ra ecuaciones; esto es los coeficientes de estos términos se hicieron cero al multiplicar la 1ra ecuación por las constantes y sumándolas a la 2da y 3ra ecuaciones respectivamente adecuadas

3.- Se multiplico la 2da ecuación por una constante para hacer el coeficiente de X2 igual a 1 y usamos esta para eliminar los términos en X2 de la primera y tercera ecuaciones de manera similar al paso anterior

4.- Se multiplica la 3ra ecuación por una constante para hacer el coeficiente de X3 = 1 y después usamos esta para eliminar los términos de X3 en 1ra  y 2da ecuaciones.

Cabe  resaltar  que  en cada  paso se  obtuvieron sistemas  equivalentes, es  decir  que  cada  sistema  tiene  el mismo conjunto de  soluciones .Antes de  resolver  otros  sistemas  es  conveniente  introducir  una  notación que  simplifica  la  escritura  en cada  paso   i es  el  concepto   de matriz , por  lo pronto una  matriz es  un  arreglo rectangular de vectores  y un vector no es  otro  caso   que  un arreglo  ordenado de números .

Por  ejemplo   los  coeficientes  de las  variables  X1,X2,X3  del  sistema  anterior pueden e escribirse  como los  elementos  de una  matriz  A.

                      2  4  6[pic 11][pic 12]

A =                4  5  6              →matriz de coeficientes

                      3  2 -2

Una  matriz  con m renglones  y n  columnas llamada  mxn .Al usar  la  notación  matricial  el  sistema   anterior  podemos  escribirle  también  como una  matriz aumentada

[pic 13]

  2  4  6  18        Matriz Aumentada

  4  5  6  24

  3  2 -2   4

Ahora  es  posible  introducir  cierta  terminología  se ha  visto que  multiplicar  a los  lados  de  una  ecuación  por un numero = 0  da  como  resultado una  ecuación  equivalente  más  aún  si   se  suma  un múltiplo de una  ecuación equivalente , por  último se  intercambia 2  ecuaciones  con sistema de ecuación  se  obtiene  un sistema  equivalente .Estas 3  operaciones  cuando se  aplican  a los  reglones  de la  matriz aumentada  que  representa  a un sistema de ecuaciones  se denomina operaciones  elementales  con reglas .Estas 3  operaciones se resumen en lo siguiente.

OPERACIONES ELEMENTALES CON RENGLONES

1. Multiplicar  un  reglón por  un  número  distinto de  cero
2. Sumar  o multiplicar  de un reglón  a  otro reglón (y tercer)
3. Intercambiar 2 reglones

Notación:

El procesos  de  aplicar  las  operaciones  elementales  con reglones  para  simplificar  una  matriz  aumentada  se llama  reducción  por  reglones  y la  notación es la  siguiente:

1.- Ri→cRi → Quiere decir  remplaza  el  décimo reglón  por  ese mismo  reglón  pero multiplicado  por  c.

2.- Rj→Rj+cRi→ Significa sustituye el j-ecimo  renglón  por la  suma  del renglón j y mas  el  renglón  i  multiplicado por  c.

3.-Ri→Rj Intercambiar  los  renglones i y j

4.- A→B→ Indica que los  matrices aumentada a y b son equivalentes

Ejercicio:

1) 2X1 + 4X2+ 6X3 = 18

    4X1 + 5X2 + 6X3 = 24

    3X1 – X2 – 2X3  =    4

 → → [pic 14][pic 15][pic 16]

 → [pic 17][pic 18]

→ [pic 19][pic 20]

X1 + 0X2 + 0X3 = 4

0X1 + 1X2 + 0X3= -2

0X1 + 0X2 + X3 = 3

2) 2X1 + 4X2+ 6X3 = 18

    4X1 + 5X2 + 6X3 = 24

    2X1 + 7X2 + 12X3  = 30

 → → [pic 21][pic 22][pic 23]

 → [pic 24][pic 25]

→ [pic 26][pic 27]

X1 – X3 = 1 → X1 + X3

X2 + 2X3 = 4 → X2 = 4 – 2X3

0X1 + 0X2 + 0X3= → X3 = X3

S= (1+X3, 4 -2X3, X3) x (-3)

S= (4, -2, 3)

Hasta aquí hemos llegado y tenemos 2 ecuaciones con 3 incógnitas X1,X2,X3; y esto nos indica que hay un número infinito de soluciones; para esto elegimos un valor de X3 y despejamos X1 y X2 en función de X3 quedándonos la solución S(1+X3, 4-2X3, X3) con la cual podemos dar un valor a X3 y encontrar X1 y X2 como una de las soluciones al sistema

3)  + 2X2+ 3X3 = 4

    2X1 - 6X2 + 7X3 = 15

    X1 – 2X2 + 5X3  = 10

 → → [pic 28][pic 29][pic 30]

 → [pic 31][pic 32]

, No tiene solución y es sistema inconsistente porque tiene una ecuación que no es verdadera.[pic 33]

La ultima ecuación nos indica que 0X1, 0X2, 0X3 lo que os da una inecuación 0 diferente a -1, así el sistema no tiene solución y decimos que el sistema es inconsistente.

Decimos que un sistema de ecuaciones lineales es inconsistente cuando el sistema no tiene solución; se dice que un sistema que tiene al menos una solución es consistente.

Las matrices  R1,R2,R3,  se llaman  formas  escalonadas reducidas  por  reglones  de las  matrices A1,A2 Y A3 respectivamente

Una  matriz se  encuentra  en la  forma  escalonada  reducida  por  reglones  si s e  cumplen las siguientes  condiciones.

1. Todos  los  renglones(si los  hay) cuyos  elementos  son todos  ceros  aparecen  en la parte  inferior  de la  matriz.
2. El  primer  número diferente  de  cero entre  paréntesis (comenzando por la  izquierda )  en cualquier  renglón cuyo elemento  no todos  son ceros es uno.
3. Si dos  renglones  sucesivos  tienen  elementos  distintos de cero entonces  el primero 1  en el renglón de  abajo  está  más  hacia  la  derecha que  en el primer 1en el   renglón de arriba
4. Cualquier  columna  que  contiene   el primer 1 en un renglón  tiene  ceros en el resto de  sus elementos ;  el primer  número =O  en un renglón (si lo  hay)  se llama  pivote  para ese  renglón.

Una  matriz  esta   en forma  escalonada por renglones si se  cumplen las tres  primeras  condiciones  anteriores.

                                R2 = [pic 34][pic 35]

            R3 =                              R4 = [pic 36][pic 37]

La  diferencia  entre   estas  dos  formas  debe ser  evidente  a partir   de los  ejemplos. En la  forma escalonada  por  renglones  todos   los  números  abajo del primer uno deber ser cero. Así la  forma escalonada  reducida por   renglones  es más  exclusiva  esta  es que  una  matriz  en forma  escalonada  reducida  por  renglones  se  encontró  también  en forma e escalonado  por  renglones   realizando operaciones, mentales  con renglones. Siempre  se  puede  reducir  una   matriz  a la  forma  escalonada  reducida por  renglones  a la  forma  escalonada  por  renglones  realizando operaciones elementales  con renglones.

Método de eliminación Gaussiana para resolver un sistema de m x n

Resolver el sistema reduciendo la matriz de coeficiente a la F.E.R

 →  → [pic 38][pic 39][pic 40]

→  [pic 41][pic 42]

R3 →R3(-1)R3[pic 43]

Ahora la matriz se encuentra en la forma F.E.R y regresando al sistema nos quedaría

X1+2X2+3X3 = 9             X1= 9-2X3-3X3= 4

X2+2X3=4                        X2= 4-2X3= -2

X3=3                                 X3= 3

Existe  una fuerte  relación entre  la  forma  escalonada    reducida  por   renglones y  la  existencia  de la  solución  único  para  el sistema ,Ejemplo  en el  primer  sistema.

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