Resumen sobre sistemas de ecuaciones lineales y matrices

Actividad de aprendizaje #3

Para el domingo 24 de mayo

Redacta, un Resumen sobre sistemas de ecuaciones lineales y matrices integrando dos ejemplos de cada uno de ellos. Posteriormente, resuelve dos con metodología de substitución y/o reducción, y los restantes, utilizando matrices como herramienta. Para esto último deberás revisar el capítulo 2 correspondiente a “matrices” del libro Álgebra lineal, de Barrera Mora. Incluso puedes resolver ejercicios del tema.

https://www.academia.edu/32915155/%C3%81lgebra_lineal_Fernando_Barrera_Mora

Asimismo, te recomiendo consultar el libro Introducción al álgebra lineal de Mesa Fernando y el vídeo Método de Gauss Jordán, ya que al hacerlo, comprenderás totalmente como se lleva a cabo la resolución con matrices, así como el método de Gauss-Jordán, un sistema de ecuaciones simultáneas.

Sistema de ecuaciones lineales

Una ecuación lineal en dos variables representa una recta en el plano cartesiano y un sistema representa una colección de rectas.

En el caso de ecuaciones que representan líneas rectas, se busca encontrar las coordenadas de los puntos de intersección.

Una solución de un sistema es una asignación de valores para las incógnitas. Resolver un sistema significa hallar todas las soluciones del sistema.

Ejemplo 1:

Consideremos el sistema

x +y =1

2x - 3y =-4

Para este caso su representación en forma de arreglo es:

[pic 1]

Representado de esta forma el sistema, procederemos a la aplicación sucesiva de las propiedades.

Propiedad:  Si los miembros de una ecuación se multiplican por un mismo número, el resultado es otra ecuación.

Propiedad 2. Si se tienen dos ecuaciones y una de ellas se multiplica por un número y se suma a la otra, el resultado es otra ecuación.

[pic 2]

Multiplicando la primera fila por -2 y sumando el resultado a la fila dos se obtiene:

[pic 3]

Aquí el símbolo ~  denota la equivalencia de los arreglos.

El arreglo de la derecha representa al sistema:

x + y=1

0x-5y=6

De la segunda ecuación de este sistema se tiene que el valor de y se obtiene multiplicando por . Este paso lo podemos representar en el último arreglo, multiplicando la segunda fi la por .[pic 6][pic 4][pic 5]

El último arreglo representa al sistema:

x + y=1

0x + y= [pic 7]

Si en este último sistema restamos la segunda ecuación de la primera y todos los pasos anteriores los representamos, se tiene:

[pic 8]

El último arreglo representa al sistema:

x + 0y=[pic 9]

0x + y= [pic 10]

en el cual se tienen los valores de x y y.

Ejemplo 2:

Se tienen dos empresas E1 y E2, en cada una se producen los bienes B1 y B2 . Supongamos que por cada unidad monetaria que se invierte en las empresas, la producción es como se describe en la tabla.

La segunda fila significa que por cada unidad monetaria, la empresa  produce .8 del bien  ; la empresa  produce .6 del mismo bien. Si en las empresas y se invierten 20 y 18.5 millones respectivamente, entonces el valor de los productos en millones es: [pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

.8(20) + .6(18.5)= 27.1: valor de [pic 20]

.4(20)+ .7(18.5)= 20.95: valor de [pic 21]

La ganancia es igual al valor de los bienes menos lo que se invirtió en producirlos. Generalizando, si en las empresas  y  se invierten x y  pesos respectivamente, y representamos el valor total de los bienes  y por  y  en aquel mismo orden, entonces se tiene:[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

.8x + .6y=   [pic 29][pic 28]

.4x +.7y=  [pic 30]

        Si en el sistema anterior los decimales se transforman a cocientes de enteros y se resuelve para y en cada una de las ecuaciones, éstas se pueden representar en forma equivalente mediante el sistema:

                                                                                 [pic 32][pic 31]

[pic 33]

[pic 34]

Dado que las inversiones se representan por cantidades no negativas, una manera de formular una es: ¿para qué valores de  y  el sistema tiene soluciones no negativas? [pic 35][pic 36]

En la figura 1  se ha representado al sistema para el caso  = =1 y se observa que tiene solución positiva. Como los sistemas (1) y (2) son equivalentes, además de que en el segundo “y” está despejada, una forma de resolverlo es igualando las expresiones de “y”; haciendo esto y simplificándola se obtiene el valor de “x y” después el valor de “y”, de manera explícita:[pic 37][pic 38]

[pic 39]

Las soluciones se han obtenido en términos de b1 y b2 , los cuales se suponen conocidos.

         Las condiciones de la pregunta original implican que x, y ≥ 0, es decir, se deben satisfacerlas condiciones:

[pic 40]

Éste es un sistema de desigualdades en b1 y b2 , el cual equivale a:

[pic 41]

y se puede representar como:

[pic 42]

Ejercicio 1:

[pic 44][pic 43]

[pic 45]

Método a utilizar: Sustitución

Despejando x en la ecuación 1

x+y=7                 x=7-y

Sustituyendo x en la ecuación 1 para despejar y

5(7-y)-2y=-7       35-5y-2y=-7           -7y+35=-7         -7y=-35-7             -7y=-42       y= -42/-7     y=6

Sustituyendo y=6 en x=7-y

X=7-(6)     x=1

Entonces x=1 y y=6

Ejercicio 2

[pic 47][pic 46]

[pic 48]

Eliminando variable x multiplicando ecuación 1 por -2

[pic 50][pic 49]

[pic 51]

Procedemos a la eliminación de x

[pic 52]

[pic 54][pic 53]

                   y   =   2

Procedemos a sustituir y=2 en la ecuación 1

-4x-2(2)=-12             -4x-4=-12            -4x=-12+4     -4x=8           x= 8/-4        x=2

Entonces x=2 y y=2

Matrices

Las matrices aparecen al resolver problemas relacionados con sistemas de ecuaciones lineales.

Las matrices serán usadas, para representar y “operar” con información. Esto llevará a considerar a las matrices no solamente relacionadas con sistemas de ecuaciones, sino como un sistema algebraico, lo cual permitirá lograr un entendimiento más profundo de sus propiedades y de lo que pueden representar.

Operaciones con matrices

Cuando se estudian operaciones con entes que no son números reales es necesario ser cuidadoso; pues el orden de los factores sí puede alterar el producto cuando no se opera con números reales.

Suma de matrices

Ejemplo 1

Se tienen dos empresas que producen cinco diferentes artículos en común. El valor de la producción se calcula mensualmente y se harán observaciones de la producción durante seis meses. Los valores de los artículos que produce la empresa A en el primer mes los representaremos por a11, a21, a31, a41 y a51; así mismo, los valores de los artículos en el segundo mes se representan por a12, a22, a32, a42 y a52. El primer subíndice se refiere al número de artículo y el segundo especifica el número de mes.

[pic 55] 

[pic 56]

Para obtener la cantidad total de cada producto, simplemente se suman las cantidades del producto correspondiente al mes que se requiere.

Transformando las representaciones de las tablas en arreglos se tiene que:

[pic 57]

Representan la producción de las empresas A y B. Para obtener la producción total de las empresas, por producto y por mes, se suman las correspondientes entradas de los arreglos. Los arreglos rectangulares de m fi las y n columnas le llamaremos matriz de orden m n.

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