Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

1. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

1. Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales

Una ecuación lineal es aquella que tiene la siguiente forma

a1x1 +a2x2 + ...+anxn = b

En donde a1, a2, ..., an y b son constantes.

Ejemplos de ecuaciones lineales:

x + 3y = 7

y = ½ x + 3z +1

x1 – 2x2 – 3x3 + x4 = 7

Todas las variables en una ecuación lineal se presentan únicamente a la primera potencia y no aparecen como argumento para funciones trigonométricas, logarítmica o exponenciales.

Ejemplos de ecuaciones no lineales:

x +  3y2 = 7

y – senx = 0

3x + 2y – z +xz = 4

Una solución de una ecuación lineal es una sucesión de números s1, s2, ...sn tales que la ecuación se satisface cuando se hace la sustitución x1= s1, x2 = s2 ... xn = sn. El conjunto de todas las soluciones de la ecuación es su conjunto solución.

Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables x1, x2, ... xn se conoce como sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal. Una sucesión de números s1, s2, ..., sn es una solución del sistema si x1 = s1, x2 = s2, ... xn = sn es una solución de toda ecuación en tal sistema

Ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales.

4x1 – x2 + 3x3 = -1

3x1 + x2 + 9x3 = -4

este sistema tiene la solución x1 = 1, x2 = 2, x3 = -1, puesto que estos valores satisfacen las dos ecuaciones.

No todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen soluciones, Por ejemplo, si se multiplica la segunda ecuación del sistema

x + y = 4

2x + 2y = 6

por ½, es evidente que no hay solución alguna, ya que las dos ecuaciones del sistema resultante

x + y = 4

x + y = 3

se contradicen entre sí.

Cuando un sistema de ecuaciones no tiene solución se dice que es inconsistente. Si existe al menos una solución, se le denomina consistente.

Considérese el siguiente sistema de ecuaciones en las variables x y y:

a1x + b1y = c1                 (a1, b1 ninguno es cero)

a2x + b2y = c2                 (a2, b2 ninguno es cero)

Las posibles soluciones se pueden expresar de la siguiente forma:

[pic 1][pic 2][pic 3]

Todo sistema de ecuaciones lineales no tiene solución alguna, tiene exactamente una solución, o bien, una infinidad de soluciones.

Un sistema arbitrario de m ecuaciones lineales  en n incógnitas se escribe

[pic 4]

Es posible abreviar un sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas escribiendo únicamente el arreglo rectangular de la siguiente forma:

[pic 5]

Este arreglo se conoce como matriz aumentada para el sistema.

En matemáticas se utiliza el término matriz para denotar un arreglo rectangular de números.

Ejemplo:

[pic 6][pic 7][pic 8]

Al construir una matriz aumentada, las incógnitas se deben escribir en el mismo orden en cada renglón de la matriz.

A continuación se utiliza el mismo sistema anteriormente mostrado y se resuelve por dos métodos que a continuación se ilustran (solamente se cambian las variables por x, y, z)

Operaciones sobre las ecuaciones

Operaciones sobre los renglones

[pic 9][pic 10]

[pic 11]

[pic 12][pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16][pic 17]

[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

[pic 23][pic 24][pic 25]

[pic 26]

[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]

Como se puede observar la solución en la columna izquierda nos dice que x = 1, y = 2, z = 3, y en la matriz también se observa lo mismo ya que para obtener  el valor de las variables la última columna se divide entre el valor que quedo en la diagonal principal, como se muestra en seguida[pic 43]

Nota.- Al utilizarse este método y el de eliminación gaussina siempre quedan unos en la diagonal principal, por lo que muchas veces el valor se obtiene directo, más adelante se mostrara otro método donde si es necesario utilizar este paso que se mencionó.

Tarea No. 1

1. Diga si la ecuación dada es lineal o no.

1. x2 +2x +1 = 0                
2. x + [pic 44]y + z = 0                
3. x + ysen 30º = 5        
4. x + y + z =[pic 45]
5. x3 +2y + z = 0  
6. senx + z = sen30º
7. [pic 46]x + y + 5z = 10
8. 5x + 2y + 3z =0

1. [pic 47]Obtenga la matriz aumentada de los siguientes sistemas.  

7x + 3y + 5z = 0

3x + 2y + 3z = 5

        7x + 3z = 0

         -x - 2z = 3

3x + 2z = 5

7x +2y – 3z = 2

3x + 2y + 7z = 5

6x + 7y + 3z = 4

7x + 4y + 5z = 0

8x + 6y + 7z =3

3x - 5y + z = 0

      -x + 2y = 5

            -2z = 3

1. De las siguientes matrices obtenga sus sistemas de ecuaciones.

[pic 48]

[pic 49]

1. Eliminación Gaussiana

Conceptos:

Matriz en la forma escalonada en los renglones reducida, la matriz que se muestra a continuación tiene esta forma.

[pic 50]

Este tipo de matriz tiene las siguientes propiedades:

1. Si un renglón no consta completamente de ceros, entonces el primer número diferente de cero en el renglón es un 1. ( A este 1 se le denomina 1 principal)
2. Si existen renglones que consten completamente de ceros, entonces se agrupan en la parte inferior de la matriz.
3. Si dos renglones sucesivos no constan completamente de ceros, el 1 principal del renglón inferior se presenta más hacia la derecha que el 1 principal del renglón superior.
4. Cada columna que contenga un 1 principal tiene ceros en todas las demás posiciones.

Si las matrices solamente cumplen los pasos 1, 2 y  3 se le denomina que la matriz esta en la forma escalonada en los renglones.

...